含根号比大小

tommywong · 发表于 2013-10-30 18:26

比较$2+\sqrt[3]{5}$和$\sqrt{7}+\sqrt[5]{2}$

即求证$2-\sqrt{7}+\sqrt[3]{5}-\sqrt[5]{2}<0$或$\displaystyle\frac{2+\sqrt[3]{5}}{\sqrt{7}+\sqrt[5]{2}}<1$

kuing · 发表于 2013-10-30 20:33

baoli
由泰勒得当 $x>1$ 时 $\sqrt[5]x>1+(x-1)/5-2(x-1)^2/25$，代入 $x=2$ 得 $\sqrt[5]2>28/25$，又 $\sqrt7=2.64\ldots>2.6=13/5$，所以 $\sqrt7+\sqrt[5]2>93/25$，于是只要证 $43/25>\sqrt[3]5$，即 $79507/15625>5$，显然成立。

keypress · 发表于 2013-10-30 21:23

KK，你的解答似乎公式没有调整好，可读性较差啊——作废
sorry，看到改好了

kuing · 发表于 2013-10-30 21:36

回复 3# keypress

我刚才回完贴就没修改过了啊，显示不出有可能是mathjax没加载成功，这几天mathjax的那个链接是有点慢。

tommywong · 发表于 2013-10-31 07:02

以下是何方程利用分数增加精确度的解法，但似乎不易测得：

$18<\sqrt{343}<19,11<\sqrt[3]{1715}<12,8<\sqrt[5]{33614}<9$

$\displaystyle\frac{18}{7}<\sqrt{7}<\frac{19}{7}$

$\displaystyle\frac{11}{7}<\sqrt[3]{5}<\frac{12}{7}$

$\displaystyle\frac{8}{7}<\sqrt[5]{2}<\frac{9}{7}$

$14-(18,19)+(11,12)-(8,9)=(-3,0)<0$

睡神 · 发表于 2013-10-31 11:16

额…何方程…

爪机专用 · 发表于 2013-10-31 12:07

回复 6# 睡神

我也发现了

其妙 · 发表于 2013-10-31 23:01

向方程？

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[不等式] 含根号比大小