二次曲面截线的焦点轨迹

hejoseph

若已知一个二次曲面以及一定点，过这个定点的动平面截这个二次曲面得到的二次曲线的焦点形成的轨迹是什么呢？

hejoseph

这个问题是由下面这个问题得到的，但是比下面的这个问题难做很多：
设
\[
f(x,y,z)=a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44},
\]
再令
\[
f_x(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x},f_y(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y},f_z(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z},
\]
则过定点 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 的平面截二次曲面 $f(x,y,z)=0$ 得到的二次曲线的中心形成的轨迹方程是
\[
f_x(x,y,z)\left(x-x_0\right)+f_y(x,y,z)\left(y-y_0\right)+f_z(x,y,z)\left(z-z_0\right)=0
\]

hbghlyj

hejoseph 发表于 2018-12-13 06:17
下面的这个问题难做很多

确实！焦点的轨迹比中心的轨迹更难。

hbghlyj

hejoseph 发表于 2018-12-13 06:17
则过定点 $P\left(x_0,y_0,z_0\right)$ 的平面截二次曲面 $f(x,y,z)=0$ 得到的二次曲线的中心形成的轨迹方程是
\[
f_x(x,y,z)\left(x-x_0\right)+f_y(x,y,z)\left(y-y_0\right)+f_z(x,y,z)\left(z-z_0\right)=0
\]

交换$(x_0,y_0,z_0)$与$(x,y,z)$得到：

若一个平面截二次曲面 $f(x,y,z)=0$ 得到的二次曲线的中心是$(x_0,y_0,z_0)$，则该平面为
\[
f_x(x_0,y_0,z_0)\left(x-x_0\right)+f_y(x_0,y_0,z_0)\left(y-y_0\right)+f_z(x_0,y_0,z_0)\left(z-z_0\right)=0
\]