不明白期望值的用处是什么?

rickyyeungyung

有没有人可以用浅白语言讲解下

业余的业余

回复 1# rickyyeungyung

大致可以称为平均值吧，是对随机变量而言。

比如一个班的数学考试出来了，张三70，李四80，..., 分数都在明面上了，加权平均得到平均分数，很好理解。

随机变量则很多时候是尚未发生，或者永远不会都发生的。尽管这样，我们有时候可以通过试验来观察随机变量的行为。比如一枚unbiased 的硬币，我掷上1000次，统计得正面刚503次，反面497次。假定我给正面指定数值1，反面指定数值0，那么我掷出的每次点数的平均值为 $(503\times 1 + 497\times 0)/1000=0.503$。

很多时候，我们知道了随机变量的分布(取不同值的概率), 想知道这个随机变量的 数学期望(mathematical expectation), 或简称期望，这是个什么意思呢？大致就是假如我有条件能一遍一遍像抛上面那枚硬币那样的做实验，然后计算累计试验到 $n$ 次时的平均值，那么当 $n\to\infty$ 时，这个平均值的极限，就是所谓的数学期望。

以上是为了便于你的理解。实际上 强大数定理(strong law of large numbers)断言，数学期望是平均值的极限。所以以上不是定义，只是为了便于你理解。而定义没什么可说的，对离散随机变量

$E[X]=\sum p_i x_i$

对连续随机变量

$E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\>\mathrm{d}x$

业余的业余

上面说的 "永远不会都"发生，是什么意思呢？

比如我们来看一个典型的离散分布，所谓的几何分布。假定我抛一枚硬币，直到得到正面为止。那么得到正面时已经掷过的次数 $n$ 就是一个几何分布的随机变量。不妨说每次掷的时候，得到正面的概率为 $p$, 显然，得到反面的概率为 $1-p$,  那么显然有

$P{X=1}=p$  一次就掷出正面
$P{X=2}=(1-p)p$ 第一次掷出反面，第二次掷出正面
$P{X=3}=(1-p)^2p$ 前两次掷出反面，第三次掷出正面
$\vdots$
$P{X=i}=(1-p)^{i-1}p $ 前 $i-1$ 次掷出反面，最后一次掷出正面
$\vdots$

根据定义

$\displaystyle E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} iP{X=i}$

这是一个算术-几何级数，结果是 $\cfrac 1{p}$

可是如果你做试验，永远不可能的得到 $n=\infty$ 的情形。