求$\frac{5x^2-4xy+12y^2}{(x+1)(y+1)}$的取值范围

hbghlyj

$x,y>0,x^2+y^2=5$,求$\frac{5x^2-4xy+12y^2}{(x+1)(y+1)}$的取值范围

kuing

Min:
\[\frac{5x^2-4xy+12y^2}{(x+1)(y+1)}=4+\frac{2(x-2y)^2+(x-2)^2+2(y-1)^2+2(x^2+y^2-5)}{(x+1)(y+1)}\geqslant4,\]当 `x=2`, `y=1` 取等。

kuing

Max:
\[\frac{5x^2-4xy+12y^2}{(x+1)(y+1)}<\frac{12x^2+12y^2}{(x+1)(y+1)}=\frac{60}{xy+x+y+1}<\frac{60}{\sqrt{x^2+y^2}+1}=\frac{60}{\sqrt5+1},\]取不了等，除非允许变量取零，则取等为 `x=0`, `y=\sqrt5`。

kuing

刚刚群里一题差不多也放这里存一下：

鄂B****林(3086*****)

阅A****k(249533164)
\[\frac{16}{6-m}+\frac{27}{6-n}=\frac{77}{10}+\frac{192(m+n-1)+11n(10-7m)}{10(6-m)(6-n)}>\frac{77}{10},\]`n\to0`, `m\to1` get "="
鄂B****林
这个不是一般难难配啊
阅A****k
这是装逼解法，没啥意义的
鄂B****林
我以为柯西降次，能配凑，可总搞不出来
粤A****巡
主要是求最小值...
在边界取到
弄那些乱七八糟的不等式顶多弄出最大值
阅A****k
最大值是高次方程，最小值在边界反而有得玩

可以看到 `m^2+n^2=1` 这条件除了提供 `m,n<1,m+n>1` 之外就没啥作用了，可见条件是可以弱化的。

下面将题目改成：已知 `m`, `n\in[0,6)` 且 `m+n\geqslant1`，求 `16/(6-m)+27/(6-n)` 的最小值。
解：
（1）若 `m>1`，则
\[\frac{16}{6-m}+\frac{27}{6-n}>\frac{16}5+\frac{27}6=\frac{77}{10};\]
（2）若 `m\leqslant1`，由条件得 `6-n\leqslant5+m`，故
\[\frac{16}{6-m}+\frac{27}{6-n}\geqslant\frac{16}{6-m}+\frac{27}{5+m}=\frac{77}{10}+\frac{11(1-m)(10-7m)}{10(6-m)(5+m)}\geqslant\frac{77}{10};\]
综上所述，原式 `\geqslant77/10`，当 `m=1`, `n=0` 取等。

其妙

敬畏数学

这题神做法。

力工

2楼大神的神配方！这是怎么想到的？额的神啊

色k

回复 7# 力工

先蒙出取等条件再凑，此乃典型装逼解法。
相比起来，3#的max还有意义点。