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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-7-26 23:46 编辑 浏览帖子图册(查看原图模式)链接: tieba.baidu.com/photo/p?kw=%E7%BA%AF%E5%87%A0%E4%BD%95&flux=1&tid=5984832157
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注２ 纯几何吧题目检索 专题帖汇总
例如2000调和专题 3000费尔巴哈专题 3100布洛卡专题 4684等角共轭专题
注３ 纯几何吧的帖子有手工编号,
下文中[]或()中的数字均表示“引用帖子编号”(纯几何吧的手工编号)
而百度贴吧内部编号是所有贴吧的帖子的统一编号(即URL中的编号).
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例如帖子链接为tieba.baidu.com/p/5984832157,
则帖子在百度贴吧内部编号为5984832157,
则镜像站链接为mirrors.yydbxx.cn/cjhb/5984832157/
注５ 百度贴吧界面将 “帖子” 写成 “贴子”, 其实, “发贴”本来是“发帖”的误写, 而且“贴”和“帖”的音调不同.
又有说“贴帖子”是“发贴”的俗称, 所以“贴”是动词, “帖”是名词.
本文作者为 杜俊辰(百度贴吧ID: 39532346djc)(QQ空间)
一、欧拉线的垂线
二、简单的九点圆
好像第二节还没出来?
第一节 欧拉线的垂线
第一部分 欧拉线垂线的几种生成方式
1.
设 $\triangle ABC$ 垂心为 $H$, 外心为 $O$,
$AC$、$AB$ 中点分别为 $D$、$E$,
$H$ 在 $AC$、$AB$ 上的投影分别为 $F$、$G$,
则 $AP \perp OH$. (16; 1807; 1968)
证明由 $\angle A D O=\angle A E O=90^{\circ}$ 知$A$、$D$、$O$、$E$共圆, 且 $AO$ 为直径. 设该圆圆心为 $L$, 则 $L$ 为 $AO$ 中点.
由 $\angle A F H=\angle A G H=90^{\circ}$ 知 $A$、$F$、$H$、$G$共圆, 且 $AH$ 为直径. 设该圆圆心为 $K$, 则 $K$ 为 $A H$ 中点. 故 $LK\px OH$.
由 $\angle A F G=\angle A B C=\angle A E D$, 知 $D$、$E$、$F$、$G$共圆.
故 $PD\cdot PE=PF\cdot PG$, 故 $P$ 在 $\odot L$ 与 $\odot K$ 的根轴上.
又 $A$ 在 $\odot L$ 与 $\odot K$ 的根轴上, 故 $A P \perp L K$.
则 $A P \perp O H$.
Q.E.D.
这是一种非常经典的欧拉线垂线生成方式，有很多应用如106（也有不借助此结论的方法）、1439、1632
设 $△ABC$ 垂心为 $H$, 外心为 $O$,
$⊙(BHC)$分别再次交 $AB$、$AC$ 于 $D$、$E$,
$DE$ 交 $BC$ 于 $P$, 则 $AP⊥OH$.
证明连接 $AH$、$EH$、$DH$,
由 $\angle AEH=\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=\angle BAH$, 有 $AH=EH$, 同理 $AH=DH$.
而 $PB\cdot P C=P D \cdot P E$, 故 $P$ 在 $\odot O$ 与 $\odot H$ 的根轴上.
而 $A$ 为 $\odot O$ 与 $\odot H$ 的一个交点, 故 $A$ 在 $\odot O$ 与 $\odot H$ 的根轴上.
则 $AP \perp OH$.
本生成方式和生成方式一为关于点A的2:1位似关系，从位似的观点来看是简单的；但是由于涉及到的点的位置不同，用法也有不同如1991
设 $△ABC$ 垂心为 $H$, 外心为 $O$,
过 $A$、$B$ 且与 $BC$ 相切的圆再次交 $AC$ 于 $D$,
过 $A$、$C$ 且与 $BC$ 相切的圆再次交 $AB$ 于 $E$,
$DE$ 交 $BC$ 于 $F$,
则 $AF⊥OH$. (269; 447)
证明作 $⊙(BHC)$ 分别再次交 $AC$、$AB$ 于 $K$、$L$, $KL$ 交 $BC$ 于 $F'$.
由 $∠DBC=∠DAB=∠CLB$, $DB$ 与 $⊙(BHC)$ 相切.
同理，$CE$ 与 $⊙(BHC)$ 相切.
故在圆内接六边形 $BBCCKL$ 中，
$BB$ 交 $CK$ 于 $D$、$BC$ 交 $KL$ 于 $F'$、$CC$ 交 $LB$ 于 $E$ 共线.
则 $F'$ 为 $DE$ 与 $BC$ 的交点，故 $F$ 与 $F'$ 重合.
由生成方式二，$AF⊥OH$.
设 $△ABC$ 垂心为 $H$, 重心为 $G$,
$AC$、$AB$ 中点分别为 $D$、$E$,
过 $D$ 作 $DM⊥DH$ 交 $AB$ 于 $M$,
过 $E$ 作 $EN⊥EH$ 交 $AC$ 于 $N$,
则 $MN⊥GH$. (37)
证明设 $BH$ 交 $AC$ 于$K$, $CH$ 交 $AB$ 于 $L$, $EK$ 交 $DL$ 于 $P$.
对 $BKECLD$ 使用帕普斯定理，$P$、$G$、$H$ 共线.
由 $∠NEH=90°=∠NKH$, $N$、$E$、$H$、$K$ 共圆，圆心为 $NH$ 中点 $X$.
同理，$M$、$D$、$H$、$L$ 共圆，圆心为 $MH$ 中点 $Y$.
而由 $D$、$E$、$L$、$K$ 共圆，$PE·PK=PD·PL$.
故 $P$ 在 $⊙X$ 和 $⊙Y$ 的根轴上，而 $H$ 也在 $⊙X$ 和 $⊙Y$ 的根轴上.
故 $PH⊥XY$, 又 $MN\px XY$, 故 $MN⊥GH$.
设 $△ABC$ 垂心为 $H$, 外心为 $O$,
$AH$、$BH$、$CH$ 分别交 $BC$、$AC$、$AB$ 于 $D$、$E$、$F$,
$DE$ 交 $AB$ 于 $M$, $DF$ 交 $AC$ 于 $N$,
则 $MN⊥OH$. (213)
证明设 $△DEF$ 外接圆为 $⊙V$, 则 $⊙V$ 为 $△ABC$ 的九点圆，有 $V$ 在 $OH$ 上.
由 $A$、$B$、$D$、$E$ 共圆，$MA·MB=MD·ME$.
故 $M$ 在 $⊙O$ 与 $⊙V$ 的根轴上.
同理，$N$ 在 $⊙O$ 与 $⊙V$ 的根轴上.
则 $MN⊥OV$, 即 $MN⊥OH$.
$MN$也是$H$的三线性极线.
外接圆和九点圆的根轴上有许多特殊点，会在下一节中详细讲解.
习题1.
设 $△ABC$ 垂心为$H$, 外心为 $O$,
$H$ 在 $AC$、$AB$ 上的投影分别为 $E$、$F$,
作 $AP⊥OH$ 交 $EF$ 于 $P$, 交 $BC$ 于 $Q$,
求证：$AP=PQ$. (1632)
习题2.
设 $△ABC$ 垂心为 $H$, 外心为 $O$,
作 $AP⊥OH$ 再次交 $⊙O$ 于 $E$, 过 $B$、$C$ 的 $⊙O$ 切线交于 $D$,
$D$ 关于 $BC$ 的对称点为 $D'$, $DE$ 再次交 $⊙O$ 于 $F$,
求证：$A$、$D'$、$F$ 共线. (1991) |
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