微分函数方程

青青子衿

$f'(x) =f(x+\frac{1}{e})$
$f'(x) =f(x+1)$

战巡

回复 1# 青青子衿


硬来呗...
设
\[f(x)=ae^{bx}\]
对于第一个，有
\[f'(x)-f(x+\frac{1}{e})=ae^{bx}(e^{\frac{b}{e}}-b)=0\]
\[e^{\frac{b}{e}}-b=0,b=e\]
于是通解就是
\[f(x)=ae^{ex}\]
其中$a\in R$

第二个类似，只是$b$变成$b=ln(b)$的解，最后解出复数，应该会变成三角式

icesheep

回复 2# 战巡


    为啥能这么设 =。=

战巡

回复 3# icesheep
所以说是硬来嘛，不过起码管用，至少这是一部分解

icesheep

海叉

真巧海叉也问了这个题，看来应该是有办法严格地解的。

kuing

群里有人说这种叫时滞微分方程

kuing

好高级的东东……

青青子衿

$f'(x) =f(x+1)$
青青子衿 发表于 2013-11-9 13:24

$f'(x)=f (x+1)$
$(e^{\alpha x})'=\alpha e^{\alpha x}$
$\alpha e^{\alpha x}=e^\alpha e^{\alpha x}= e^{\alpha x+\alpha}= e^{\alpha(x+1)}$
$z=a+bi$
$e^z=z$
$e^{a+bi}=a+bi$
$e^ae^bi=e^a(\cos b+i\sin b)= e^a\cos b+ie^a\sin b$
$\begin{cases}
e^a\cos b=a \\
e^a\sin b=b  \end{cases}$
$\Longrightarrow$
$\begin{cases}
e^a =\frac{b}{\sin b} \\
\cos b=\frac{a}{e^a} \end{cases}$
$\frac{b}{\tan b}=\ln\frac{b}{\sin b}$

icesheep

你这能求出多少来，用 Lambert W function 表达的。解空间是无限维的。

hbghlyj

How find this function $f(x)=ae^{ex}$ other solution?

zh.wikipedia.org/wiki/时滞微分方程#特征方程
特征方程是一个非线性特征问题, 有许多计算谱的数值方法. 少数的特殊情况可以显式地求解特征方程. 例如, 时滞微分方程$$\frac{d}{dt}x(t)=-x(t-1)$$的特征方程是$$-\lambda-e^{-\lambda}=0$$这个方程对于变量 $λ$ 有无穷多个复数解. 复解可表示为$$\lambda=W_K(-1)$$其中$W_K$是朗伯W函数的第$K$个分支.