连续函数的单调值，对应的自变量也单调吗？

abababa

原问题：给定区间上的连续函数$f(x)$，函数本身不一定单调，但如果存在一列函数值$y_1=f(x_1),\cdots,y_n=f(x_n)$，满足$y_1<\cdots<y_n$，那能不能说明$x_1<\cdots<x_n$呢？或者有什么反例？（已有2楼反例）

我想表达的问题的准确描述见4楼。

kuing

显然不能
sin0<sin150<sin90
0<90<150

abababa

回复 2# kuing
谢谢，我明白了，我想问的应该是：是不是存在这样的$x_1<\cdots<x_n$，不要求所有的都满足。这样就能把$5\pi/6$对称过去变成$\pi/3$，然后就存在了吧。

kuing

回复 3# abababa

我帮你重新组织一次语言吧：

给定区间上的连续函数 `y=f(x)`，在值域内任取一列数值 `y_1<\cdots<y_n`，
是否总存在一列单调的 `x_i` 满足 `f(x_i)=y_i`（`i=1,\ldots,n`）？

你是想表达这意思吧？如果是的话，那就是存在的。

更确切说，设在 `x=a` 处 `f` 取最小值，在 `x=b` 处 `f` 取最大值，则：
如果 `a<b`，则存在递增的 `x_i`；
如果 `a>b`，则存在递减的 `x_i`。

abababa

回复 4# kuing

是的是的，就是这个意思，以单调增为例，要怎么证明呢？

kuing

回复 5# abababa

证明我不会写，我只是从直观来看是显然的。

比如说像这样的函数图像：

这属于第一种情况，考虑那三段红色的，作横线 `y=y_i` 总与红线有交点，交点的横坐标递增。

abababa

回复 6# kuing

直观上是挺容易理解的，就是证明起来对我来说有困难。并且我看到这个图，想到以前看过的一个“日出引理”，不知道有没有什么关系，如果有关系的话，那这个题应该是高等数学里的问题了吧，能请版主把它移动到高等数学版块里吗？

kuing

回复 7# abababa

其实我下午本来也想过用“光照”来形容选取的部分，不过后来还是直接画个图来说了。

维基上的 Rising_sun_lemma 的图简直和我画的差不多：



贴吧里有中文的：tieba.baidu.com/p/5509247586

abababa

回复 8# kuing

谢谢，日出引理的内容我看了，但觉得又和这个问题没多大关系，只是图很像。
另外那个$x_i$单调我发现也很重要啊，不一定还是增的，比如$y=-x$这样的，就没有增的数列了，但是单调数列还是存在。

zhcosin

我怎么感觉很简单啊，假如函数分别在 $x_1$和$x_n$处取得函数值$y_1$和$y_n$，且$x_1<x_n$(这时构造出的是递增的$x_k$序列，如果反号，则是递减的$x_k$序列)，那么接下来只需要在闭区间$[x_1,x_n]$上考虑问题了，由介值性，$\exists x_2 \in (x_1,x_n)$使得$f(x_2)=y_2$，再接下来，$\exists x_3 \in (x_2,x_n)$使得$f(x_3)=y_3$，依次下去就得出序列$x_k$了.

业余的业余

用语言来描述的话，我们可以给出一个算法，一个构造一个新函数 $g$ 的方法(当然这样的方法并不是唯一的). 这个新函数 g 满足

1. 其定义域 $S$ 是 $f$ 的定义域 $X$ 的一个子集 ($U\subset X) $;
2. $g(S)=f(X)$;
3. $g$ 严格单调 (这点蕴含了 $g$ 是一个 bijection);
4. $\forall_{ x\in S}\Big{(}f(x) = g(x)\Big{)}$

这个算法很容易构造，略去。显然有 $x_1=g^{-1}(y_1), x_2=g^{-1}(y_2), \cdots, x_n=g^{-1}(y_n)$ 单调。

记 $x_m$ 为 $f$ 的最小值点， $x_M$ 为 $f$ 的最大值点。

考虑存在 $x_m$ 为实数，而$x_M$ 为 $\infty$ 时，可以用极限过程从有限推到无限。这个过程有点不好说清楚了，对任意大的 $x_M$ 我们都可以证明，但推广到无限，虽然从直觉上我们知道一定成立，但要用数学语言令人信服的证明，还有点麻烦呢。好在主贴中问题其实只需要有限的情形就够了。

再考虑 $x_m$ 在 $-\infty$, $x_M$ 在 $\infty$. 把 $f$ 分成 $(-\infty,0)$ 和 $[0,\infty)$ 两段，用前面已经证明过的构造方法分别构造对应 的 $g_1, g_2$, 把 $g_1$ 和 $g_2$ 合并得到 $g$. 其中 $S=S_1\setminus\{g_1^{-1}(0)\} \cup S_2$，$S_1, S_2$ 分别是 $g_1, g_2$ 的定义域。

abababa

回复 10# zhcosin

好像确实是这么回事。我当时想过用介值，但当时觉得是哪里有问题，推不出结论来，现在再看又觉得没问题。