奇数阶$A$行列式为正，存在非零向量使二次型为正

abababa

已知奇数阶实对称矩阵$A$的行列式大于零，求证存在非零向量$\vv{x}$使$\vv{x}^TA\vv{x}>0$。

我的证明如下：
假设$A$没有正的特征值，则$A$至少是半负定矩阵，因此$\det(A)\le 0$，这与$\det(A)>0$矛盾，因此$A$必有正的特征值。

于是$A$的规范型中必含有$1$，设可逆矩阵$P=(a_{ij})$能将$A$变为规范型，即$P^TAP = \text{diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)=\Lambda$，其中有$p$个$1$，取向量$\vv{y}=(1,0,\cdots,0)^T$，令$\vv{x}=P\vv{y}=(a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1})^T$，于是
\[\vv{x}^TA\vv{x} = (a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1})^T\Lambda(a_{11},a_{21},\cdots,a_{n1})=a_{11}^2+\cdots+a_{1s}^2-a_{1(s+1)}^2-\cdots-a_{1t}^2\]
只要令$a_1$充分大，上式即大于零。

是不是有什么问题啊？没用到奇数阶的条件。

abababa

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我明白我错在哪了，那个$a_{11}$并不是随意选的，而是从规范型里定出来的，所以这样不能让它充分大。

hbghlyj

abababa 发表于 2021-7-11 02:26
回复 1# abababa

我明白我错在哪了，那个$a_{11}$并不是随意选的，而是从规范型里定出来的，所以这样不能 ...

这样证明可以吗:
$A$必有正的特征值$λ$, 设$v$为$λ$对应的一个特征向量, 则$v^TAv=v^T(λv)=λ\|v\|^2>0$