证 $\frac 4{(b-a)^2}\left|f(b)-f(a)\right|\leq \cdots$

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源自知乎提问




按题：函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导， $f'(a)=f'(b)=0,$ 证明存在一点 $\xi\in (a,b),$ 使得 $\frac 4{(b-a)^2}\left|f(b)-f(a)\right|\leqslant \left|f''(\xi)\right|.$

尝试用“带有拉格朗日型余项的泰勒公式”试试，纯属个人 mark (学习)下.



分析与证： 由$f$ 在 $a$ 处的带有拉格朗日型一阶余项的泰勒公式
$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac {f''(\xi_1)}{2!}(x-a)^2,\ \xi_1\in (a,b)$$
有
$$f\left(\frac {a+b}2\right)=f(a)+0+\frac {f''(\xi_1)}{2}\left(\frac {b-a}2\right)^2,\ \xi_1\in (a,b).$$



同样的由$f$ 在 $b$ 处的带有拉格朗日型一阶余项的泰勒公式可得
$$f\left(\frac {a+b}2\right)=f(b)+0+\frac {f''(\xi_2)}{2}\left(\frac {a-b}2\right)^2,\ \xi_2\in (a,b).$$

两式相减，整理得
\begin{align*} \frac 4{(b-a)^2}\left|f(b)-f(a)\right|&=\frac 12\left|f''(\xi_1)-f''(\xi_2)\right|\\[1em] &\leqslant \frac 12\bigg(\left|f''(\xi_1)\right|+\left|f''(\xi_2)\right|\bigg)\\[1em] &\leqslant \frac 12\cdot \left|2f''(\xi)\right|,\ \left|f''(\xi)\right|=\max\left\{\left|f''(\xi_1)\right|,\left|f''(\xi_2)\right|\right\}\\[1em] &=\left|f''(\xi)\right|,\ \xi\in (a,b). \end{align*}

其中第一个不等式是 $\left|a\pm b\right|\leqslant \left|a\right|+\left|b\right|,$ OK，但求无过~