知乎撸题存档(2022)——不等式类

kuing

好久没更新，事关最近撸题欲大减，撸的也是简单小题，懒得记录……

网址：zhihu.com/question/569535960
标题：已知a＋b＋c=3， a,b,c≥0 求证a²＋b²＋c²＋abc≥4?
尝试运用了柯西不等式和均值不等式 但是方向上出现了问题 现在没有办法 求解答

后续：
题主本人
我在《不等式的秘密》第二卷 整合变量法中找到了题目原题所在
运用令t=(a＋b)/2 使得f(a，b，c)≥f(t，t，c)
在分类讨论c的取值范围
当然原书中也提到了存在初等对称多项式写法 不过没给出过程(但是我并不会(泪目 如果有大佬给出这种写法 感谢) 对它有兴趣的人可以查找一下此书
(以及感谢kuing的回答 均值不等式nb

我的回答：
三个数中必存在两个同时 ≥ 1 或同时 ≤ 1，故由对称性可不妨设 (b - 1) (c - 1) ≥ 0，即 bc ≥ b + c - 1，所以
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2+abc&\geqslant a^2+\frac{(b+c)^2}2+a(b+c-1)\\
&=\frac{a^2}2+\frac{(b+c)^2}2+a(b+c)-a+\frac{a^2}2\\
&=\frac{(a+b+c)^2}2+\frac{(a-1)^2}2-\frac12\\
&=4+\frac{(a-1)^2}2\\
&\geqslant4.
\end{align*}
发布于 2022-11-29 15:59

注：通法当然是齐次化 + schur 分拆，调整法啥的也可以，但太常规我是不会写嘀。

网址：zhihu.com/question/570693355
标题：这个不等式该如何做?
\[\frac{x^2+y^2}{x+y}\geqslant\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}2}\quad(x,y>0)\]

我的回答：
令 $x+y=2p,\,x^2+y^2=2q$ ，则 $xy=2p^2-q$，故 $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=2p(3q-2p^2)$ ，原不等式化为
\[\frac{q^3}{p^3}\geqslant p(3q-2p^2),\]
也就是
\[\frac{q^3}{p^3}+p^3+p^3\geqslant3pq,\]
由均值显然成立。

发布于 2022-12-08 18:10

isee

kuing 发表于 2022-12-8 18:34
好久没更新，事关最近撸题欲大减，撸的也是简单小题，懒得记录……

我的回答：

这样写法似乎能推到三元（只是感觉，并不定有三元的不等式可以推广