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楼主 |
kuing
发表于 2022-9-25 17:49
我的回答：
不喜欢 `-1` 作下界，作置换 `a\to-1+a` 等，问题等价于：
`a`, `b`, `c`, `d`, `e\geqslant0`, `a+b+c+d+e=10`，设
\[S(a,b,c,d,e)=(a-b)(b-c)(c-d)(d-e)(e-a),\]
求 `S` 的最值。
由于 `S(e,d,c,b,a)=-S(a,b,c,d,e)`，这说明 `S` 的最大最小值必然互为相反数，所以只需求出 `\abs S` 的最大值即可。
由轮换对称性不妨设 `e=\min\{a,b,c,d,e\}`，令
\[(a',b',c',d')=\left(a+\frac e4,b+\frac e4,c+\frac e4,d+\frac e4\right),\]
则
\[\abs{S(a',b',c',d',0)}=\abs{(a-b)(b-c)(c-d)}\left(d+\frac e4\right)\left(a+\frac e4\right),\]
显然 `d+e/4\geqslant\abs{d-e}`, `a+e/4\geqslant\abs{a-e}`，所以
\[\abs{S(a,b,c,d,e)}\leqslant\abs{S(a',b',c',d',0)},\]
接下来分两类讨论：
（1）若 `b'\leqslant c'`，有
\begin{align*}
\abs{S(a',b',c',d',0)}&=\abs{(a'-b')(b'-c')(c'-d')}d'a',\\
\abs{S(a'+b',0,c',d',0)}&=(a'+b')c'\abs{c'-d'}d'(a'+b'),
\end{align*}
显然 `a'+b'\geqslant\abs{a'-b'}`, `c'\geqslant\abs{b'-c'}`, `a'+b'\geqslant a'`，所以
\[\abs{S(a',b',c',d',0)}\leqslant\abs{S(a'+b',0,c',d',0)};\]
（2）若 `b'\geqslant c'`，有
\[\abs{S(a',b',0,c'+d',0)}=\abs{a'-b'}b'(c'+d')(c'+d')a',\]
显然 `b'\geqslant\abs{b'-c'}`, `c'+d'\geqslant\abs{c'-d'}`, `c'+d'\geqslant d'`，所以
\[\abs{S(a',b',c',d',0)}\leqslant\abs{S(a',b',0,c'+d',0)}.\]
综上所述，当 `\abs S` 取大值时要么 `b=e=0` 要么 `c=e=0`。
对于前者，变成：`a`, `c`, `d\geqslant0`, `a+c+d=10` 求 `a^2cd\abs{c-d}` 的最大值；
对于后者，变成：`a`, `b`, `d\geqslant0`, `a+b+d=10` 求 `\abs{a-b}abd^2` 的最大值。
显然两者是等价的，下面求前者的，由均值有
\begin{align*}
(cd\abs{c-d})^2&=\frac14\cdot2cd\cdot2cd\cdot(c-d)^2\\
&\leqslant\frac14\left(\frac{2cd+2cd+(c-d)^2}3\right)^3\\
&=\frac{(c+d)^6}{4\cdot3^3},
\end{align*}
然后再次均值
\begin{align*}
a^2cd\abs{c-d}&\leqslant\frac{a^2(c+d)^3}{6\sqrt3}\\
&=\frac{3a\cdot3a\cdot2(c+d)\cdot2(c+d)\cdot2(c+d)}{432\sqrt3}\\
&\leqslant\frac1{432\sqrt3}\left(\frac{6(a+c+d)}5\right)^5\\
&=192\sqrt3,
\end{align*}
当 `a=4`, `c=3\pm\sqrt3`, `d=3\mp\sqrt3` 时取等。
综上所述，`S` 的最大最小值就是 `192\sqrt3` 和 `-192\sqrt3`。
注：在知乎编辑公式不方便，最近还老出问题（不知是我的浏览器问题还是咋样），这次干脆先在这里写，再截图发那边算了。 |
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楼主: kuing
nttz
发表于 2022-6-8 17:04
