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源自知乎提问，这个方式我还是凑了好一久的~~
以 $\int \bm{\csc x}\mathrm dx$ 分部积分法展示三角函数的美，希望能感觉得三角到美~希望是
\begin{align*} \int \csc x \mathrm dx &= \int \csc x \cot x \cdot \tan x\mathrm dx\\[1em] &=-\int \tan x\mathrm d\csc x\\[1em] &=-\sec x+\int \csc x \sec^2 x \mathrm dx\\[1em] &=-\sec x-\int \frac 1 {\sin^2 x\cos^2x} \mathrm d\cos x\\[1em] &=-\sec x-\int \left(\frac 1{1-\cos^2 x} +\frac 1{\cos^ 2x}\right)\mathrm d\cos x\\[1em] &=\frac 12 \ln \frac {1-\cos x}{1+\cos x}+C. \end{align*}
所用同角三角函数恒等公式
$$\sin x\csc x=1,\ \cos x\sec x=1,\ \tan x\cot x=1,\ $ $\tan x\csc x=\sec x.$$
所用微分公式
$$\mathrm d\tan x=\sec^2 x\mathrm dx,\ \mathrm d\csc x=-\csc x\cot x\mathrm dx.$$
所用积分表
$$\int \frac 1{x^2-a^2}\mathrm dx=\frac 1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.$$ |
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