最小值

大佬最帅

kuing

先用baoli方法看取等：
齐次化 `\frac{(7\sqrt a-4\sqrt b)^4}{a(a-4b)}`，换元 `\frac{(7-4t)^4}{1-4t^2}`，求导分解可算出 `t=1/4`，因此取等是 `a=16b`。

擦掉以上，凑装逼解法：
由 `(ac-bd)^2\geqslant(a^2-b^2)(c^2-d^2)` 及均值得
\[\bigl( 7\sqrt a-4\sqrt b \bigr)^2\geqslant(7-1)(7a-16b)=6\bigl(3a+4(a-4b)\bigr)\geqslant12\sqrt{12a(a-4b)}=12^2,\]
开荒即得 `7\sqrt a-4\sqrt b\geqslant12`，当 `a=4`, `b=1/4` 时取等。

大佬最帅

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放一个更……的解答

kuing

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这和我 2# 后面写的是一样啊

大佬最帅

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没仔细看

isee

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我来常规的

题：已知实数满足$a(a-4b)=12$，则$7\sqrt a-4\sqrt b$的最小值为____.

PS：此题数学公式代码是入门入门入门级的，楼主都忽略    

令$7\sqrt a=x>0$，$-4\sqrt b=y<0$，条件化为$\frac {x^2}{49}\left(\frac {x^2}{49}-\frac {y^2}{4}\right)=12$，求$x+y$的最小值.


\begin{align*}
12&=\frac {x^2}{49}\left(\frac {x^2}{49}-\frac {y^2}{4}\right)\\[1em]
12&=\left(\frac {x}{7}\right)^2\left(\frac {x}{7}-\frac {y}{2}\right)\left(\frac {x}{7}+\frac {y}{2}\right)\\[1em]
\frac 43\cdot 12&=\left(\frac {x}{7}\right)^2\cdot \frac 23\left(\frac {x}{7}-\frac {y}{2}\right)\cdot 2\left(\frac {x}{7}+\frac {y}{2}\right)\\[1em]
16&=\left(\frac {x}{7}\right)^2\left(\frac {2x}{21}-\frac {y}{3}\right)\left(\frac {2x}{7}+\frac {y}{1}\right)\\[1em]
&\leqslant \left(\frac {2\cdot \frac {x}7+\frac {2x}{21}-\frac y3+\frac {2x}7+y}{4}\right)^4\\[1em]
&=\left(\frac {\frac {2x}3+\frac {2y}3}{4}\right)^4\\[1em]
\Rightarrow x+y&\geqslant 12.
\end{align*}

当且仅当$x=14,y=-2$等号成立.

当然，$3:3:2:6$系数比是用待定系数法得到的，原数据小数多解方程算错了一次符号，多花了点时间.

其妙

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我也来装一下逼，由4维均值不等式得，

$7\sqrt a  - 4\sqrt b  = \dfrac{3}{2}\sqrt a  + \dfrac{3}{2}\sqrt a  + (\sqrt a  + 2\sqrt b ) + 3(\sqrt a  - 2\sqrt b )$

${\kern 50pt}\geq4\sqrt[4]{{\dfrac{9}{4}a \cdot 3(a - 4b)}} = 4\sqrt[4]{{\dfrac{{27}}{4} \times 12}} = 12$.