$\lim_{x\to 0^+}(\cos\sqrt x)^{\frac 1x}.$

isee

源自知乎提问，复合函数有点多



题： $\lim_{x\to 0^+}(\cos\sqrt x)^{\frac 1x}.$

洛必达法则亦达，以下 $\exp f(x)=\mathrm e^{f(x)}$

\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}(\cos\sqrt x)^{\frac 1x} &=\lim_{x\to 0^+}\exp\frac {\ln \cos\sqrt x}x\\[1em] &=\exp\lim_{x\to 0^+}\frac {\ln \cos\sqrt x}x\\[1em] \xlongequal{\text{L'Hospital}}&=\exp\lim_{x\to 0^+}\frac {\frac 1{\cos\sqrt x}\cdot (\cos\sqrt x)'}1\\[1em] &=\exp\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac 1{\cos\sqrt x}\cdot (-\sin\sqrt x)\cdot (\sqrt x)'}1\\[1em] &=\exp\lim_{x\to 0^+}\frac 1{\cos\sqrt x}\cdot \frac {-\sin\sqrt x}{2\sqrt x}\\[1em] &=\frac 1{\sqrt {\mathrm e}} \end{align*}

战巡

回复 1# isee

\[\lim_{x\to 0^+}(\cos(\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^+}(1-\frac{x}{2}+o(x))^{\frac{1}{x}}=e^{-\frac{1}{2}}\]

kuing

和上次这个差不多：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8298&extra=page%3D2#pid41706

isee

回复 3# kuing


泰勒展开是一样的，我还打算就在那帖回的。

不过，主楼偏复合的导数，所以单独成一帖了。

不过，现在有了战巡补充，真可以合一起，也是行的。