向量模的最值

力工

请大家来攻这道向量题。
平面向量$\bm{a},\bm{b},\bm{c}$满足$|\bm{a}|=1,\bm{b}\cdot \bm{c}=0,|2\bm{b}+2\bm{c}-\bm{a}|=1$，求$|\bm{a}-\bm{b}|$的最大值。

kuing

注意到
\[(\bm a-\bm b)^2=\bm a^2-4\bm b\cdot\bm c+\frac13(2\bm b+2\bm c-\bm a)^2-\frac13(\bm a+\bm b-2\bm c)^2,\]
代入条件即得
\[(\bm a-\bm b)^2=\frac43-\frac13(\bm a+\bm b-2\bm c)^2\leqslant\frac43,\]
取等懒得算了

kuing

几何解法补一个：

如上图，设小圆半径为 `r`，则
\begin{align*}
AB&\leqslant AN+r\\
&=\sqrt{r^2+AM^2}+r\\
&=\sqrt{r^2+1-(2r)^2}+r\\
&=\frac{\sqrt{(4-1)(1-3r^2)}}{\sqrt3}+r\\
&\leqslant\frac{2-\sqrt3r}{\sqrt3}+r\\
&=\frac2{\sqrt3}.
\end{align*}

走走看看

回复 2# kuing


这种配方很赞！

设 $(a-b)^2=k*a^2+l*bc+m(2b+2c-a)^2+p△^2 $

然后，逐步猜出 k、l、m、p以及△中的项，很巧妙啊！