一道极坐标系下双重积分的题，感觉答案不对

PIG

如题
$$\iint_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}dσ$$
其中，D是由圆周$x^2+y^2=Rx$所围成的区域。
将其转化为极坐标系形式为：
$$\int_\frac{-\pi}{2}^\frac{\pi}{2}d\theta\int_{0}^{Rcos\theta}\sqrt{R^2-r^2}r dr$$
我自己算出来结果是 $\frac{\pi R^3}{3}$,而答案给的是$\frac{R^3}{3}\left(\pi-\frac{4}{3}\right)$
用了mathmatica跑了一段，结果奇奇怪怪的，很长一串。有大佬来帮忙看看吗？

abababa

回复 1# PIG

这个不是能分开算吗？先换元$r=R\sin(x)$，这样$x=\arcsin(\frac{r}{R}),dr=R\cos xdx$，所以
\[\int_{0}^{R}\sqrt{R^2-r^2}dr=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}R^2\cos^2xdx=R^2\left[\frac{\sin x\cos x+x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi R^2}{4}\]

然后
\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\cos\theta\cdot\frac{\pi R^2}{4}=\frac{\pi R^2}{2}\]

哦，我明白了，少看了一个$r$。换元$x=R^2-r^2$，这样就有$dr=\frac{-1}{2r}dx$，所以
\[\int_{0}^{R}\sqrt{R^2-r^2}rdr=-\frac{1}{2}\int_{R^2}^{0}\sqrt{x}dx=\frac{R^3}{3}\]

然后还是
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\cos\theta\cdot\frac{R^3}{3}=\frac{2R^3}{3}

PIG

回复 2# abababa

不好意思，我这个题目打错了，cosθ是在积分上限里面的，不能分开算，话说这里LaTex里积分上限只能识别第一个字符么还是怎么滴，我一开始没注意

isee

回复 3# PIG


现在是正常的，不止一个字母时，需要{}，另外，余弦符号就像 \alpha 一样要加 反斜杠 \cos

其实所有的数学专用名词都要加反斜杠 \

战巡

回复 3# PIG

答案没错啊

\[\int_0^{R\cos(\theta)}r\sqrt{R^2-r^2}dr=-\frac{1}{3}(R^2-r^2)^{\frac{3}{2}}|_0^{R\cos(\theta)}=\frac{1}{3}[(R^2)^{\frac{3}{2}}-(R^2-R^2\cos^2(\theta))^{\frac{3}{2}}]\]
\[=\frac{1}{3}[R^3-(R^2\sin^2(\theta))^{\frac{3}{2}}]=\frac{R^3}{3}[1-|\sin(\theta)|^3]\]
我估计你问题就出在这里，这个$(\sin^2(\theta))^{\frac{3}{2}}$如果直接就变成了$\sin^3(\theta)$，是要出问题的

\[\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{R\cos(\theta)}r\sqrt{R^2-r^2}dr\]
\[=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{R^3}{3}[1-|\sin(\theta)|^3]d\theta\]
\[=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{R^3}{3}d\theta-\frac{R^3}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^0(-\sin^3(\theta))d\theta-\frac{R^3}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3(\theta)d\theta\]
\[=\frac{\pi R^3}{3}-\frac{R^3}{3}\cdot\frac{2}{3}-\frac{R^3}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{R^3}{3}(\pi-\frac{4}{3})\]

而且mathematica给出的结果也是这样啊，并不会一长串，不知道你代码怎么写的

PIG

嗯，就是这个低级错误，我也感觉到了应该是个低级错误，谢谢啦

PIG

回复 4# isee


    嗯，是的，而且打积分上下限的时候如果只打一个花括号不行，必须上下限两个一起打才可以，要不就不打，只识别第一个字符。