求证$\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nt\}$是不是正交基。

abababa

$\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nt\}$是$L^2[0,2\pi]$的正交基吗？是$L^2[-\pi,\pi]$的正交基吗？

正交是显然的。我知道对于$f\in L^2[0,\pi]$，它可以奇延拓到$L^2[-\pi,\pi]$上的$g$，然后我已知$\{\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{int}\}$是$L^2[-\pi,\pi]$上的标准正交基，把$g$展开成傅立叶级数，它只含$\sin nx$的项，而$f=\frac{g(x)-g(-x)}{2}$，这样就把$f$展开成傅立叶级数了，结果是
\[f(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)dt\right)\sin(nx)\]

所以$\{\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nt\}$是$L^2[0,\pi]$的正交基。那它是不是$L^2[0,2\pi]$和$L^2[-\pi,pi]$的正交基呢？

abababa

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会了。就用$f(x)=\abs{x}$，然后在$L^2[-\pi,\pi]$上
\[\int_{-\pi}^{\pi}\abs{x}\sin nxdx=0\]
所以这个$f(x)=\abs{x}$和所有$\sin nx$都垂直，这样$\{\sin nx\}^{\perp}\neq\{0\}$，所以$\{\sin nx\}$就不能是$L^2[-\pi,\pi]$上的正交基。平移这个函数使对称轴是$x=\pi$，就得到$\{\sin nx\}$也不能是$L^2[0,2\pi]$上的正交基。