2013湖北文22,理21的变圆解法

hongxian

2013湖北文22，理21
感觉能变圆，有人能秒吗？
如图，已知椭圆$C_1$,$C_2$的中心在坐标原点$O$，长轴均为$MN$且在$x$轴上，短轴长分别为$2m$，$2n$($m>n$)，过原点且不与$x$轴重合的直线$l$与$C_1$,$C_2$的四个交点按纵坐标从大到小依次为$A$、$B$、$C$、$D$，记$\lambda=\frac m n$，$\triangle BDM$和$\triangle ABN$的面积分别为$S_1$和$S_2$
（1）当直线$l$与$y$轴重合时，若$S_1=\lambda S_2$，求$\lambda$的值；
（2）当$\lambda$变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线$l$，使$S_1=\lambda S_2$?并说明理由

hongxian

回复 1# hongxian

自己来一个
如果存在不和坐标轴平行的直线
伸缩变换将小椭圆变为单位圆，大椭圆变为长轴在$y$轴上的椭圆，显然线段之间的比例关系没有变化，
则$\abs{OE}=\abs{OF}=\lambda$，$\abs{OM}=\abs{ON}=\abs{OC}=\abs{OB}=1$
又$\lambda=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\abs{BD}}{\abs{AB}}=\dfrac{\abs{OA}+\abs{OB}}{\abs{OA}-\abs{OB}}=\dfrac{\abs{OA}+1}{\abs{OA}-1}=1+\dfrac{2}{\abs{OA}-1}>1+\dfrac{2}{\lambda-1}$
$\Longrightarrow \lambda^2-2\lambda-1>0 \Longrightarrow \lambda>1+\sqrt{2}$或$\lambda<1-\sqrt{2}$
又$\lambda>1$，$\Longrightarrow \lambda>1+\sqrt{2}$

kuing

回复 2# hongxian

图中的字母是不是标错了？

hongxian

回复 3# kuing

$M$,$N$和$E$,$F$反了,没有保存,只有再画一个!

魔幻水果

伸缩变换？现在的教材里面讲了？那一本？

kuing

回复 5# 魔幻水果

显然没有……

kuing

回复 2# hongxian

话说……不做伸缩变换其实也可以这样做，只不过 $\abs{OA}/\abs{OB}$ 关于直线倾角的单调性大概要证明一下，而伸缩变换后则是显然，所以目前看来这是伸缩带来的唯一好处……

hongxian

回复 7# kuing

伸缩的目的就是为了求$\dfrac{\abs{OA}}{\abs{OB}}$的取值范围,不伸缩我还不知道怎么说明

发现新论坛的两天特点:
(1)新论坛居然在手机上显示公式成功;
(2)新论坛需要登录才能看附件;

kuing

回复 8# hongxian

第(2)点是忘了设置，现在应该可以了……
这个论坛后台可以设置的东西比5d6d那里更加全面……

其妙

回复  hongxian
第(2)点是忘了设置，现在应该可以了……
这个论坛后台可以设置的东西比5d6d那里更加全面 ...
kuing 发表于 2013-6-16 08:35

那就快来吧！