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给定集合 $X$, 若函数 $f: X \times X \rightarrow[0,1]$ 满足: 对任意 $\epsilon>0$, 存在有限个 $X$ 中元素 $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ 使得对任意 $t \in X$, 存在某个 $b_{i(t)}$ 满足:
$$
\left|f(x, t)-f\left(x, b_{i(t)}\right)\right|<\epsilon, \forall x \in X,
$$
则称 $f$ 是右一致的。类似地, 对任意 $\epsilon>0$, 存在有限个 $X$ 中元素 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 使得对任意 $t \in X$, 存在某个 $a_{i(t)}$ 满足:
$$
\left|f(t, x)-f\left(a_{i(t)}, x\right)\right|<\epsilon, \forall x \in X,
$$
则称 $f$ 是左一致的。求证：左一致等价于右一致。
答案 只需证明右一致推出左一致。任给 $\epsilon>0$, 由右一致条件得到 $X$ 中有限个元素 $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$. 考虑映射 $h: X \rightarrow[0,1]^{m}, h(x)=\left(f\left(x, b_{1}\right), f\left(x, b_{2}\right), \ldots, f\left(x, b_{m}\right)\right)$. 由 $[0,1]^{m}$ 的紧致性, 存在有限个 $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ 使得对任意 $x \in X$, 存在某个 $c_{i_{x}}$ 使得 $\left|h(x)-h\left(c_{i_{x}}\right)\right|<\epsilon$, 从而
$$
\left|f\left(x, b_{i}\right)-f\left(c_{i_{x}}, b_{i}\right)\right|<\epsilon, \forall i \in\{1,2, \ldots, m\}\tag1
$$
由右一致条件知 $\left|f(x, t)-f\left(x, b_{i(t)}\right)\right|<\epsilon(\forall x \in X),\left|f\left(c_{i_{x}}, t\right)-f\left(c_{i_{x}}, b_{i(t)}\right)\right|<\epsilon$, 结合 $(1)$, 知对任意 $t \in X$,
$$
\left|f(x, t)-f\left(c_{i_{x}}, t\right)\right| \leq\left|f(x, t)-f\left(x, b_{i(t)}\right)\right|+\left|f\left(x, b_{i(t)}\right)-f\left(c_{i_{x}}, b_{i_{i}}\right)\right|+\left|f\left(c_{i_{x}}, b_{i(t)}\right)-f\left(c_{i_{x}}, t\right)\right|<3 \epsilon
$$
因为 $\epsilon$ 是任意的, 所以 $f$ 是左一致的。
来源:2022年阿里巴巴全球数学竞赛初赛第6题
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