一个函数问题

snowblink

已知$a\inR$，记$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$为函数$y=(x-a)^2$和$y=1-\sin x$的两个交点，令函数$f(a)=\left| x_{1}-x_{2}\right|$，则：A.$f(a)$是最小正周期为$π$的周期函数. B.$f(a)$在$\left({0\mathrm{,}\frac{\mathit{\pi}}{2}}\right)$单调递减. C.$f(a)$的图像是轴对称图形. D.$f(a)$的图像是中心对称图形.

此题选BC，请问各位大手此题B选项除画图外是否有其他方式来理解或证明？求教

kuing

两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来就明显一些。

不妨设 `x_1<x_2`，那就是 `a-x_1=\sqrt {1-\sin x_1}` 以及 `x_2-a=\sqrt {1-\sin x_2}`，相加得
\[x_2-x_1=\sqrt {1-\sin x_1}+\sqrt {1-\sin x_2},\]
而 `x+\sqrt{1-\sin x}` 和 `x-\sqrt{1-\sin x}` 都是增函数，所以 `a` 增大时 `x_1`, `x_2` 都增大，且易知它们都在 `(-\pi/2,\pi/2)` 内，所以上式递减。

snowblink

kuing 发表于 2022-7-3 23:08
两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来 ...

感谢kuing，巧妙的做法

lrh2006

kuing 发表于 2022-7-3 23:08
两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来 ...

不是吧kk，两年前的题目你还记得。。。
如此巧思不是我等凡人能想到的，膜拜
谢谢kk

hjfmhh

kuing 发表于 2022-7-3 23:08
两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来 ...

请教一下：$x+\sqrt{1-\sin x}$和$x-\sqrt{1-\sin x}$是增函数怎么直接看出来的？$f(x)$的最小正周期和不是中心对称图形怎么证明？

hjfmhh

\begin{aligned}
& f(x)=x+\sqrt{1-\sin x}, \quad g(x)=x-\sqrt{1-\sin x} \\
& f'(x)=\frac{2 \sqrt{1-\sin x}-\cos x}{2 \sqrt{1-\sin x}}, \quad g'(x)=\frac{2 \sqrt{1-\sin x}+\cos x}{2 \sqrt{1-\sin x}} \\
& f'(x) g'(x)=\frac{4(1-\sin x)-\cos ^2 x}{4(1-\sin x)}=\frac{(\sin x-1)(\sin x-3)}{4(1-\sin x)}>0
\end{aligned}当 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时 $g'(x)>0$，从而有 $f'(x)>0$
当 $x \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时 $f'(x)>0$，从而有 $g'(x)>0$
故 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时，$g'(x)>0$，$f'(x)>0$
又 $f'(x+2 \pi)=f'(x), g'(x+2 \pi)=g'(x)$
$\therefore$ 当 $x \inR$ 时 $g'(x)>0$，$f'(x)>0$，$g(x)$ 和 $f(x)$ 在 $\Bbb R$ 上递增
最小正周期和不是对称中心图形而是轴对称图形怎么证明？

kuing

用不用这样啊……
只需注意到 `\sqrt{1-\sin x}=\abs{\sin(x/2)-\cos(x/2)}`，那么在可导的地方 `\sqrt{1-\sin x}` 的导数的绝对值都不超过 `\sqrt2/2`，所以 `x\pm\sqrt{1-\sin x}` 显然都是增啊

hjfmhh

kuing 发表于 2025-6-30 18:44
用不用这样啊……
只需注意到 `\sqrt{1-\sin x}=\abs{\sin(x/2)-\cos(x/2)}`，那么在可导的地方 `\sqrt{1-\ ...

嗯非常谢谢。最小正周期和不是对称中心图形而是轴对称图形怎么证明？

hjfmhh

kuing 发表于 2025-6-30 18:44
用不用这样啊……
只需注意到 `\sqrt{1-\sin x}=\abs{\sin(x/2)-\cos(x/2)}`，那么在可导的地方 `\sqrt{1-\ ...

$f(a)$在$(-\pi/2,0)$上单调递减可以证明吗？