一个函数问题

snowblink

已知$a\in \mathrm{R}$，记$A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)$为函数$y=(x-a)^2$和$y=1-\sin x$的两个交点，令函数$f(a)=\left| x_{1}-x_{2}\right|$，则：A.$f(a)$是最小正周期为$π$的周期函数. B.$f(a)$在$\left({0\mathrm{,}\frac{\mathit{\pi}}{2}}\right)$单调递减. C.$f(a)$的图像是轴对称图形. D.$f(a)$的图像是中心对称图形.

此题选BC，请问各位大手此题B选项除画图外是否有其他方式来理解或证明？求教

kuing

两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来就明显一些。

不妨设 `x_1<x_2`，那就是 `a-x_1=\sqrt {1-\sin x_1}` 以及 `x_2-a=\sqrt {1-\sin x_2}`，相加得
\[x_2-x_1=\sqrt {1-\sin x_1}+\sqrt {1-\sin x_2},\]
而 `x+\sqrt{1-\sin x}` 和 `x-\sqrt{1-\sin x}` 都是增函数，所以 `a` 增大时 `x_1`, `x_2` 都增大，且易知它们都在 `(-\pi/2,\pi/2)` 内，所以上式递减。

snowblink

kuing 发表于 2022-7-3 23:08
两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来 ...

感谢kuing，巧妙的做法

lrh2006

kuing 发表于 2022-7-3 23:08
两个函数同时开荒，变成 `\abs{x-a}` 与 `\sqrt{1-\sin x}` 的交点，这并不会改变交点的横坐标，这样看起来 ...

不是吧kk，两年前的题目你还记得。。。
如此巧思不是我等凡人能想到的，膜拜
谢谢kk