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设$\Omega$是$\mathbb{R}^n$的一个可测子集，$1\le p<\infty$，集合$C_c(\Omega)$是连续函数$f:\Omega\to\mathbb{R}$的紧支集，求证$C_c(\Omega)$在$L^p(\Omega)$中稠密。
我是这么想的：显然$C_c(\Omega)\subseteq L^p(\Omega)$，假设$C_c(\Omega)$在$L^p(\Omega)$中不稠密，则$L^p(\Omega)\setminus\overline{C_c(\Omega)}\neq\varnothing$，根据这帖知，必存在$L^p(\Omega)$上的线性泛函$\varphi$使得$\|\varphi\|=1$且对任意的$x\in\overline{C_c(\Omega)}$都有$\varphi(x)=0$，由$\|\varphi\|=1$可知$\varphi$不是零泛函。
取$L^p(\Omega)$的共轭空间$L^q(\Omega)$，则存在唯一的$y\in L^q(\Omega)$使得
\[\int_{\Omega}x(t)y(t)dt=\varphi(x)=0 \text{且} \|y\|=\|\varphi\|=1\]
如果能证明：对任意的$x\in\overline{C_c(\Omega)}$上面的积分都为零，能推出$y=0, a.e.$，然后$\|y\|=0$，与$\|y\|=1$矛盾，就证明完了。但要怎么证明$y=0,a.e.$呢？这里不能用$C_c(\Omega)$在$L^p(\Omega)$中稠密，因为这就是要证明的。 |
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