出个题吧，大家帮我找找出处...

战巡

已知函数$f(x)$在$(0,1)$上连续，且满足：
对给定正整数$n$：
\[\int_0^1f(x)x^ndx=1\]
对任意自然数$k, k<n$：
\[\int_0^1f(x)x^kdx=0\]
求证：存在一点$\xi \in (0,1)$，使得
\[\abs{f(\xi)}\ge2^n(n+1)\]

icesheep

出处貌似是（吉林工业大学）
\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^n}f\left( x \right){\text{d}}x}  < {2^n}\left( {n + 1} \right)\int\limits_0^1 {{{\left| {x - \frac{1}{2}} \right|}^n}{\text{d}}x} \]

战巡

回复 1# 战巡


还是给解答吧...
考虑积分
\[\int_0^1f(x)(x-\frac{1}{2})^ndx\]
\[=\int_0^1f(x)[\sum_{i=0}^nC_n^ix^i(-\frac{1}{2})^{n-i}]dx=1\]
因此有
\[1=\int_0^1f(x)(x-\frac{1}{2})^ndx\le \int_0^1\abs{f(x)(x-\frac{1}{2})^n}dx\]
由于$\abs{f(x)}$和$\abs{(x-\frac{1}{2})^n}$在$(0,1)$上都连续，且$\abs{(x-\frac{1}{2})^n}$在$(0,1)$上不变号，根据积分第一中值定理推论得
存在$\xi \in (0,1)$使得
\[ \int_0^1\abs{f(x)(x-\frac{1}{2})^n}dx=\abs{f(\xi)}\int_0^1\abs{(x-\frac{1}{2})^n}dx=\abs{f(\xi)}\frac{1}{2^n(n+1)}\]
因此有
\[\abs{f(\xi)}\frac{1}{2^n(n+1)}\ge 1\]
\[\abs{f(\xi)}\ge 2^n(n+1)\]

战巡

出处貌似是（吉林工业大学）
\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^n}f\left( x \right ...
icesheep 发表于 2013-11-21 06:52

这个感觉很奇怪啊，右边那块就是1...

icesheep

这个感觉很奇怪啊，右边那块就是1...
战巡 发表于 2013-11-21 09:24

反证法，1<1 导出矛盾。

LLLYSL

北京大学生数学竞赛在很早以前也出过这个题目

青青子衿

回复 1# 战巡
最早应该出自于1972年12月2日举行的“第33届普特南数学竞赛”
参考来源：
《美国大学生数学竞赛题解（下册）》
卢亭鹤 张永祺 邵存蓓  译
甘肃人民出版社

战巡

这是谁家的洛阳铲{:curse:}