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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-11-16 23:14 编辑 $f(x)=\frac{e^z-1}z$, 对任何$0<|z|<1$,
$f(0)=1$
这样定义的函数$f(z)$在单位圆盘是全纯的, 根据最大模原理, $|f(z)|$在边界取最大值, 也就是在边界$|z|=1$上求$|f(z)|=\abs{e^z-1}$最大值, 设$z=\cos t+i\sin t$,
$$\abs{e^z-1}=\sqrt{\Bigl(\exp (\cos (t)) \cos (\sin (t))-1\Bigr)^2+\Bigl(\exp (\cos (t))\sin (\sin (t))\Bigr)^2}\ge1-e^{-1}=0.632121$$
当$t=\pi$(即$z=-1$)时取等.
这里用幂级数证明了$\frac14<|f(z)|<\frac74=1.75$. |
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