|
|
|
Last edited by Czhang271828 at 2023-6-8 18:31:00这是很显然的, 甚至可以按照下面的证明思路推广一下(例如有一处不交错等等). 以下证明是把简单的画图题用严谨的分析语言写出来, 从而字略多.
约定记号 $\overline{\mathbb C}:=\mathbb C\cup\{\infty\}$, $\overline {\mathbb R}$ 为 $\overline{\mathbb C}$ 的赤道面 $\mathbb R\cup\{\infty\}$. 先做以下调整.
- 不妨设恒有 $r_i\neq s_j$, 允许 $r_i=\infty$. 例如 $x$ 作为二次多项式, 其根为 $\{0,\infty\}$.
- 定义 $<$ 为圆 $\overline{\mathbb R}$ 上的逆时针($\overline{\mathbb C}$ 上俯视)相邻. 例如对集合 $\{1,4,-2,\infty\}$, 有
$$
1<4<\infty<-2<1.
$$
- 令 $g(x)$ 是 $n$ 次全实根多项式, 满足
$$
r_1< s_1<\cdots< s_{n-1}< r_n 将最后一句 "$f+\alpha g$ 的根都为实数"调整作"$t f+(1-t) g$ 的根都在 $\overline{\mathbb R}$ 内, 其中 $t\in[0,1]$".
在 $\overline{\mathbb C}$ 上标注 $g$ 的所有根 $\{s_i\}_{1\leq i\leq n}$. 那么随 $t$ 在 $[0,1]$ 的变动, $t f+(1-t) g$ 的 $n$ 个的根在 $\overline{\mathbb C}$ 中表现为连续曲线 $\{\gamma_i(t)\}_{1\leq i\leq n}$. 这些曲线满足以下几条性质.
- 对 $1\leq i 考虑球面 $\overline{\mathbb C}$ 上通常意义的度量, 对任意 $j$ 与 $0\leq t\leq 1$, $|\gamma_j'(t)|$ 被某一仅与 $f$ 与 $g$ 系数相关的常数固定(证明略去).
- 由于 $tf+(1-t)g$ 是实系数多项式, 故对任意 $0\leq t\leq 1$, $\bigcup_{1\leq i\leq n}\{\gamma_i(t)\}$ ($n$-点集合)关于赤道 $\overline{\mathbb R}$ 对称.
- 对任意 $i$ 与任意 $t\in (0,1)$, $\gamma_i(t)$ 不等于任何 $g$ 与 $f$ 的根; 反之可推得 $f$ 与 $g$ 有重根.
我们断言对任意 $i\neq j$, 曲线 $\gamma_i(t)$ 与 $\gamma_j(t)$ 没有交点. 首先对于足够小的 $\varepsilon>0$, $\{\gamma_i(t)\mid 0\leq t\leq \varepsilon\}_{1\leq i\leq n}$ 扫过的经度两两不交, 根据 $\overline{\mathbb R}$-对称性可知每一 $\{\gamma_i(t)\mid 0\leq t\leq \varepsilon\}$ 均在 $\overline{\mathbb R}$ 上. 从而存在最大的 $t_0\in(0,1]$ 使得 $\{\gamma_i(t)\mid 0\leq t\leq t_0\}$ 均在 $\overline{\mathbb R}$ 上.
我们断言 $t_0=1$. 若 $t_0<1$, 则存在曲线 $\gamma_i(t)$, 其轨道在 $t>t_0$ 时偏离 $\overline{\mathbb R}$. 由于 $\bigcup_{1\leq i\leq n}\{\gamma_i(t_0)\}$ 关于 $\overline{\mathbb R}$-对称, 故存在另一在 $\gamma_i(t_0)$ 处偏离 $\overline{\mathbb R}$ 的曲线 $\gamma_j(t)$ . 注意到 $t\leq t_0$ 时, $\gamma_i(t)$ 均在 $\overline{\mathbb R}$ 上, 由交错性可知 $\gamma_i$ 或 $\gamma_j$ 在 $0\leq t\leq t_0$ 时的轨迹经过 $f$ 的某一根, 矛盾!
以上证明了 $t_0=1$, 亦即 $\{\gamma_i(t)\mid 0\leq t\leq 1\}$ 在 $\overline{\mathbb R}$ 上. 显然 $\gamma_i$ 两两不交, 且起点相异以及终点相异, 因此对任意 $1\leq i\leq n$, $\gamma_i$ 只能是 $s_i$ 到 $r_j$ 的 $\overline{\mathbb R}$-弧线, 或 $s_i$ 到 $r_{j-1}$ 的 $\overline{\mathbb R}$-弧线. 因此对任意 $\alpha\in \mathbb R$, $f+\alpha g$ 在 $\overline {\mathbb R}$ 上有 $n$ 个相异的根.
原题中 $s_n=\infty$, $f+\alpha g$ 是 $n$ 次多项式, 故在 $\mathbb R$ 上有 $n$ 个两两不同的根.
|
|
Czhang271828
Posted at 2023-1-6 17:28:21
