戊烷球棍模型推广的计数

青青子衿

【引子】
我们都知道戊烷有三种同分异构体：
正戊烷：\(\,\bf{CH_{3}CH_{2}CH_{2}CH_{2}CH_{3}}\,\)
2-甲基丁烷：\(\,\bf{CH_{3}CH(CH_{3})CH_{2}CH_{3}}\,\)【异戊烷】
2,2-二甲基丙烷：\(\,\bf{CH_{3}C(CH_{3})_{3}}\,\)【新戊烷】
也就是说戊烷的球棍模型有三种，那么问题来了：
有四根不同颜色的牙签（四根牙签的颜色分别是a,b,c,d，忽略除颜色外的其他不同）；
五个不同颜色的橡皮泥小球（五个橡皮泥小球的颜色分别是A,B,C,D,E，忽略除颜色外的其他不同）；
用这四根牙签来连接五个橡皮泥小球，有多少种可能？（感觉会挺大的）

【值得注意的是】当一个橡皮泥小球连接四个橡皮泥小球的时候会出现“手性结构”
（即通过空间变换无法将左手与右手重合）

色k

wocao，化学也来了，一点儿也不懂……

PS、标题第一眼看成了“混球”……

realnumber

先简单的试下
1.连成一条“直链”，有$4!5!/2=1440$种.除以2是因为顺序可以颠倒.
2.连成中间一个小球$C_5^1$，其它4个球通过牙签插在这个小球上，
先插4根牙签2种（手性结构），再接上4个球4!种.合计有240种.
3.连成“Y”型.这样连接：先三个球形成“直链（不颠倒）”$A_5^3A_4^2$，再在固定一端插上2牙签及球2种.合计1440种.
以上1.2.3.合计有3120种.

Infinity

因为已经给出了所有的同分异构体，剩下就是对每个进行染色了，最后求和即可（对于2,2-甲基丙烷情况则要用到伯恩赛德引理或Polya定理）。楼主需要先明确一个问题：牙签（化学键）的4种颜色和小球（原子或官能团）的5种颜色有交集吗？

青青子衿

回复 4# Infinity
谢谢指正。
确实没有明确指出，但是我用字母的大小写确实就像将它们区分开。
也就是说，我想表达的是牙签的颜色没有一个与小球的颜色相同。

Infinity

考虑正戊烷分子型：两个变换：恒等、右旋180度，显然旋转后不存在重合的情形（因为颜色都不相同），故为(5!4!+0)/2=1440种。

2-甲基丁烷分子型：分子结构共面，故变换也是两个：恒等、绕连接2个甲基的长链轴旋转180度。后者也不可能出现旋转后重合的情形，因为甲基团碳颜色不同，故同样是1440种。

2,2-二甲基丙烷分子型：碳-碳结构类似一个中心碳连接正四面体各个顶点。基团都一样，这个应该不存在手性情况。考虑正四面体的旋转变换：绕四面体顶点与对面中心连线XX'旋转120度，240度，显然不存在旋转不变方案；绕一条棱中心与对棱中心连线YY'旋转120度，240度，显然也不存在。故共有(5!4!+0+0)/5=576种。

一共1440+1440+576=3456种。