三角，向量问题

lrh2006

在△ABC中，BC=5，G,O分别为△ABC的重心和外心，且向量OG•向量BC=5，则△ABC的形状是？大家有什么方法吗？

kuing

貌似不是什么特别的形状啊，得到的是
\[c^2=b^2+\frac65a^2,\]
除了说它一定是钝角三角形，也没其他可说了，你确定没抄错题？

lrh2006

回复 2# kuing

嗯，是个选择题。答案就是判断是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形。
    c2=b2+6/5a2,是怎么得出的？

kuing

回复 3# lrh2006

所以这种题选项不应该略去……

kuing

\begin{align*}
\vv{OG}\cdot\vv{BC}=5
&\iff\bigl(\vv{OA}+\vv{AG}+\vv{OB}+\vv{BG}+\vv{OC}+\vv{CG}\bigr)\cdot\vv{BC}=15 \\
& \iff\bigl(\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}\bigr)\cdot\bigl(\vv{OC}-\vv{OB}\bigr)=15 \\
& \iff \vv{OA}\cdot\bigl(\vv{OC}-\vv{OB}\bigr)=15 \\
& \iff R^2(\cos\angle AOC-\cos\angle AOB)=15 \\
& \iff R^2(\cos2B-\cos2C)=15 \\
& \iff R^2(2\sin^2C-2\sin^2B)=15 \\
& \iff c^2-b^2=30,
\end{align*}
故此由 $a=5$ 即得
\[c^2=b^2+\frac65a^2,\]
所以必为钝角三角形。

lrh2006

回复 5# kuing

我错了，我偷懒了，对不起噢。谢谢kuing,懂了。那道立体几何kuing没兴趣吗？

kuing

回复 6# lrh2006

嗯，没有。

爪机专用

正好在别的群里又看到这题

test

回复 8# 爪机专用

后面那道双曲线你们也可以玩玩

其妙

回复 9# test