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先考虑一个高中很喜欢考的物理过程.
竖直放置足够长的光滑平行导轨间距为 $L$ , 上端串联一个阻值为 $R$ 的定值电阻, 整个装置处于磁感应强度为 $B$ , 方向垂直导轨向内的匀强磁场中. 质量为 $m$ , 电阻不计的金属棒从轨道底部以初速度 $v_0$ 开始竖直向上运动, 棒始终与导轨垂直且良好接触, 空气阻力不计. 设重力加速度为 $g$ , 求解该金属棒 $v(t)$ 的表达式.
先用牛顿第二定律写出加速度的表达式 ( $a,v$ 均以竖直向上为正)
$$
a=-g-\frac{B^2L^2}{mR}\cdot v
$$
因为 $a=\dfrac{{\rm d}v}{{\rm d}t}$ , 这其实是个微分方程, 求解得
$$
\int_0^t\frac{1}{g+\frac{B^2L^2}{mR}v}{\rm d}v=\int_0^t(-{\rm d}t)\Rightarrow v=\left(\frac{mgR}{B^2L^2}+v_0\right)\cdot{\rm e}^{-\tfrac{B^2L^2t}{mR}}-\frac{mgR}{B^2L^2}
$$
虽然这个表达式右边带有 $\exp(x)$ , 但如果照常进行量纲分析, 会发现带指数的这一项的应为无量纲的. 然后一考察指数, 发现指数是无量纲, 从而可以猜想, 这里 ${\rm e}^x$ 的多项式展开仍然适用 (好像也没什么理由不适用) , 而展开式的每一项均为无量纲, 所以量纲分析依然成立.
再考虑另外一个物理过程.
初始质量为 $m_0$ 的某物体, 受到竖直向上的恒力, 大小为 $m_0g$ ( $g$ 为重力加速度) , 该物体的质量随时间的函数满足 $m(t)=m_0-kt$ , 求解该物体 $v(t)$ 的表达式.
一样用牛顿第二定律写出加速度的表达式 ( $a,v$ 均以竖直向上为正)
$$
a=\frac{m_0g}{m_0-kt}-g
$$
两边在 $(0,t)$ 上定积分得
$$
v=\frac1k\left[m_0g\ln m_0-m_0g\ln(m_0-kt)\right]-gt
$$
注意这里 $k$ 的量纲应为 ${\rm kg\cdot s^{-1}}$ , 同样进行量纲分析, 可以猜想 $\ln(x)$ 里面只要 $x$ 是多项式, 那么 $\ln(x)$ 一定是无量纲的.
个人感觉这个 "量纲分析" 还挺有用的, 似乎描述了一种代数上的不变量, 奈何本人知识水平不太到位, 还没有看出更深层的结构, 欢迎 dalao 讨论~ |
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战巡
发表于 2023-4-25 23:33
