$S_n(0)-S_n(1)+S_n(2)-S_n(3)+\dots+(-1)^nS_n(n)=(2n)!!\cdot x_1x_2\cdots x_n$

hbghlyj

Hall and Knight - Higher Algebra Volume 2 page 503:


135. Prove that\begin{array}{l}(a+b+c+d)^{4}+(a+b-c-d)^{4}+(a-b+c-d)^{4}+(a-b-c+d)^{4} \\ -(a+b+c-d)^{4}-(a+b-c+d)^{4}-(a-b+c+d)^{4}-(-a+b+c+d)^{4} =192 a b c d\end{array}

[Trinity College, Cambridge]

136. Find the values of $a, b, c$ which will make each of the expressions $x^4+a x^3+b x^2+c x+1$ and $x^4+2 a x^3+2 b x^2+2 c x+1$ a perfect equare.
[London University]

hbghlyj

代入$a=0$得\begin{array}{l}(b+c+d)^{4}+(b-c-d)^{4}+(-b+c-d)^{4}+(-b-c+d)^{4} \\ -(b+c-d)^{4}-(b-c+d)^{4}-(-b+c+d)^{4}-(b+c+d)^{4} =0\end{array}所以含因式$a$. 同理, 含因式$b,c,d$. 而且是4次多项式, 所以是$abcd$的常数$C$倍, 代入$a=b=c=d=1$得$C= 4^4-4\cdot 2^4=192$.

类似的3元恒等式:\[(a+b+c)^3+(a-b-c)^3+(-a+b-c)^3+(-a-b+c)^3=24abc\]对于5元是否有类似的恒等式?

通过Mathematica

1. Sum[(-1)^k Binomial[n, k] (n - 2 k)^n, {k, 0, n}]

复制代码

算得前面的系数是$(2n)!!$
A000165: Double factorial of even numbers

hbghlyj

Assume $x^4+a x^3+b x^2+c x+1=\left(x^2+\frac{a}{2} x+1\right)^2$, and
$$
x^4+2 a x^3+2 b x^2+2 c x+1=\left(x^2+a x+1\right)^2
$$
then by equating coefficients we must have
\begin{matrix}
b=\frac{a^2}{4}+2, &c=a, \\2 b=a^2+2,&2 c=2 a
\end{matrix}Thus
$$\frac{a^2}{2}+4=a^2+2\implies a^2=4$$
hence
$$
a=c=\pm 2, b=3
$$

kuing

一看这标题的 四元 以及系数 192 我立刻想起这帖：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7764（并无联系）😁

realnumber

zh.numberempire.com/simplifyexpression.php
$(a+b+c+d+e)^5-(-a+b+c+d+e)^5-(a-b+c+d+e)^5-(a+b-c+d+e)^5$
$-(a+b+c-d+e)^5-(a+b+c+d-e)^5+(-a-b+c+d+e)^5+(-a+b-c+d+e)^5$
$+(-a+b+c-d+e)^5+(-a+b+c+d-e)^5+(a-b-c+d+e)^5+(a-b+c-d+e)^5$
$+(a-b+c+d-e)^5+(a+b-c-d+e)^5+(a+b-c+d-e)^5+(a+b+c-d-e)^5 = 1920abcde$




$(a+b+c+d+e+f)^6-(-a+b+c+d+e+f)^6-(a-b+c+d+e+f)^6-(a+b-c+d+e+f)^6$
$-(a+b+c-d+e+f)^6-(a+b+c+d-e+f)^6-(a+b+c+d+e-f)^6+(-a-b+c+d+e+f)^6$
$+(-a+b-c+d+e+f)^6+(-a+b+c-d+e+f)^6+(-a+b+c+d-e+f)^6+(-a+b+c+d+e-f)^6$
$+(a-b-c+d+e+f)^6+(a-b+c-d+e+f)^6+(a-b+c+d-e+f)^6+(a-b+c+d+e-f)^6$
$+(a+b-c-d+e+f)^6+(a+b-c+d-e+f)^6+(a+b-c+d+e-f)^6+(a+b+c-d-e+f)^6$
$+(a+b+c-d+e-f)^6+(a+b+c+d-e-f)^6-(a-b-c-d+e+f)^6-(a-b-c+d-e+f)^6$
$-(a-b-c+d+e-f)^6-(a-b+c-d-e+f)^6-(a-b+c-d+e-f)^6-(a-b+c+d-e-f)^6$
$-(a+b-c-d-e+f)^6-(a+b-c-d+e-f)^6-(a+b-c+d-e-f)^6-(a+b+c-d-e-f)^6=23040abcdef$
很有可能就这个了,奇数比如5,依次:+$C_5^0$项,-$C_5^1$项,+$C_5^2$项
偶数比如6,依次:+$C_6^0$项,-$C_6^1$项,+$C_6^2$项,-$\frac{C_6^3}{2}$项

直接输入不了,就分成2部分
(a+b+c+d+e+f)^6+(-a-b+c+d+e+f)^6+(-a+b-c+d+e+f)^6+(-a+b+c-d+e+f)^6+(-a+b+c+d-e+f)^6+(-a+b+c+d+e-f)^6+(a-b-c+d+e+f)^6+(a-b+c-d+e+f)^6+(a-b+c+d-e+f)^6+(a-b+c+d+e-f)^6+(a+b-c-d+e+f)^6+(a+b-c+d-e+f)^6+(a+b-c+d+e-f)^6+(a+b+c-d-e+f)^6+(a+b+c-d+e-f)^6+(a+b+c+d-e-f)^6

(-a+b+c+d+e+f)^6+(a-b+c+d+e+f)^6+(a+b-c+d+e+f)^6+(a+b+c-d+e+f)^6+(a+b+c+d-e+f)^6+(a+b+c+d+e-f)^6+(a-b-c-d+e+f)^6+(a-b-c+d-e+f)^6+(a-b-c+d+e-f)^6+(a-b+c-d-e+f)^6+(a-b+c-d+e-f)^6+(a-b+c+d-e-f)^6+(a+b-c-d-e+f)^6+(a+b-c-d+e-f)^6+(a+b-c+d-e-f)^6+(a+b+c-d-e-f)^6

realnumber

kuing 发表于 2023-3-3 04:12
一看这标题的 四元 以及系数 192 我立刻想起这帖：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewt ...

kk,第一次用$\sum_{cyc}$写成这样，有写错吗？特别是6次的最后一项.这两式，好像改成$\sum_{sym}$也一样？
\[(a+b+c+d+e)^5-\sum_{cyc}(-a+b+c+d+e)^5+\sum_{cyc}(-a-b+c+d+e)^5=1920abcde \]
\[ (a+b+c+d+e+f)^6-\sum_{cyc}(-a+b+c+d+e+f)^6+\sum_{cyc}(-a-b+c+d+e+f)^6-\frac{1}{2}\sum_{cyc}(-a-b-c+d+e+f)^6=23040abcdef \]

kuing

realnumber 发表于 2023-3-6 14:14
kk,第一次用$\sum_{cyc}$写成这样，有写错吗？特别是6次的最后一项.这两式，好像改成$\sum_{sym}$也一样 ...

这个 cyc 不行，cyc 是轮换对称。
五元的时候 `\sum_{cyc}f(a,b,c,d,e)` 表示 `f(a,b,c,d,e)+f(b,c,d,e,a)+f(c,d,e,a,b)+f(d,e,a,b,c)+f(e,a,b,c,d)` 永远只有五项，在表示“5 个任取 2 个”的情形就不对了。
但是改成 sym 似乎也不对，我也不知道该怎么用 `\sum` 来表达……

realnumber

kuing 发表于 2023-3-6 14:45
这个 cyc 不行，cyc 是轮换对称。
五元的时候 `\sum_{cyc}f(a,b,c,d,e)` 表示 `f(a,b,c,d,e)+f(b,c,d,e,a ...

cyc明白了

$\sum_{sym}f(a,b,c,d,e)=$这个几项啊？$A_5^5$项？不对，项数好像看情况？

kuing

realnumber 发表于 2023-3-6 14:52
cyc明白了

$\sum_{sym}f(a,b,c,d,e)=$这个几项啊？$A_5^5$项？不对，项数好像看情况？ ...

sym 是 Symmetric 的缩写，`\sum_{sym}` 就是对称求和，所有排列都算，是 n! 项。
所以现实当中多元的时候往往需要除重——就是你认为需要看情况的时候。
比如四元 a,b,c,d 时，对于 `\sum_{sym}ab`，按照定义，f(a,b,c,d)=ab 的话，那 f(a,b,c,d)、f(b,a,c,d)、f(a,b,d,c)、f(b,a,d,c) 都 =ab，于是 `\sum_{sym}ab=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)`，但你其实只是想表达括号里面那串。
因此上面的表达式其实用 sym 其实还是可以表达的，就是得除。

kuing

这样表达怎么样？：
记 `A=x_1+x_2+\cdots +x_n` 以及
\[ S_n(k)=\sum_{\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}\subseteq\{1,2,\ldots,n\}}\bigl(A-2(x_{i_1}+x_{i_2}+\cdots+x_{i_k})\bigr)^n, \]
特别地 `S_n(0)=A^n`，猜想：
\[S_n(0)-S_n(1)+S_n(2)-S_n(3)+\cdots+(-1)^nS_n(n)=C_n\cdot x_1x_2\cdots x_n,\]
其中 `C_n` 是只与 `n` 有关的数。

比如 `n=3` 时，令 `(x_1,x_2,x_3)=(a,b,c)`，则
\begin{align*}
S_3(0)&=(a+b+c)^3,\\
S_3(1)&=(-a+b+c)^3+(a-b+c)^3+(a+b-c)^3,\\
S_3(2)&=(-a-b+c)^3+(-a+b-c)^3+(a-b-c)^3,\\
S_3(3)&=(-a-b-c)^3,
\end{align*}
有
\begin{align*}
&S_3(0)-S_3(1)+S_3(2)-S_3(3)\\
={}&2S_3(0)-2S_3(1)\\
={}&2(a+b+c)^3-2[(-a+b+c)^3+(a-b+c)^3+(a+b-c)^3]\\
={}&48abc.
\end{align*}

`n=4` 时 `(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,c,d)`, `A=a+b+c+d`，则
\begin{align*}
S_4(0)={}&A^4,\\
S_4(1)={}&(A-2a)^4+(A-2b)^4+(A-2c)^4+(A-2d)^4,\\
S_4(2)={}&(A-2a-2b)^4+(A-2a-2c)^4+(A-2a-2d)^4\\
&+(A-2b-2c)^4+(A-2b-2d)^4+(A-2c-2d)^4\\
={}&2[(A-2a-2b)^4+(A-2a-2c)^4+(A-2a-2d)^4],\\
S_4(3)={}&(A-2a-2b-2c)^4+(A-2a-2b-2d)^4\\
&+(A-2a-2c-2d)^4+(A-2b-2c-2d)^4\\
={}&S_4(1),\\
S_4(4)={}&(A-2a-2b-2c-2d)^4=S_4(0),
\end{align*}
有
\begin{align*}
&S_4(0)-S_4(1)+S_4(2)-S_4(3)+S_4(0)\\
={}&2S_4(0)-2S_4(1)+S_4(2)\\
={}&2A^4-2[(A-2a)^4+(A-2b)^4+(A-2c)^4+(A-2d)^4]\\
&+2[(A-2a-2b)^4+(A-2a-2c)^4+(A-2a-2d)^4]\\
={}&384abcd.
\end{align*}

因为前后对称，结果总是你们写的两倍，但是这样写法统一，不用分奇偶，或许对证明也有好处。

hbghlyj

已整理10#发至MSE

realnumber

致各位论坛网友：

由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。

现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。

kuing

realnumber 发表于 2023-10-29 10:49

隐约记得楼上原帖开头是说：小伙子发现系数的表达式是 `2^{n-1}n!`
但后面有没有后续我忘了……
如果还有，麻烦楼上有空补充一下😊

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-3-2 20:04
算得前面的系数是$(2n)!!$

证明：根据二项式定理，我们有 $$ \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}x^{2n-2k}=\left(x^{2}-1\right)^{n}
$$ 所以 $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}x^{n-2k}=x^{-n}\left(x^{2}-1\right)^{n}
$$ 如果我们取导数，我们得到 $$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}x^{n-2k-1}\left(n-2k\right)=-nx^{-n-1}\left(x^{2}-1\right)^{n}+n2x^{-n+1}\left(x^{2}-1\right)^{n-1} \tag{1}
$$ 现在如果我们取 $x=1
$ 我们可以很容易地看到 RHS 是 $0$。从 $(1)$ 我们还可以观察到，如果我们在每一边乘以 $x$ $$
\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\left(-1\right)^{k}x^{n-2k}\left(n-2k\right)=-nx^{-n}\left(x^{2}-1\right)^{n}+n2x^{-n+2}\left(x^{2}-1\right)^{n-1}$$
现在我们可以迭代这个方法。所以你需要对 $n
$ 次求导以得到一个非零项，即 $2^{n}n!$。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-5 01:10
现在我们可以迭代这个方法。所以你需要对 $n$ 次求导以得到一个非零项，即 $2^{n}n!$。

我明白了！
求导再乘$x$，求导再乘$x$，求导再乘$x\ldots\ldots$这样重复$n$次

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-5 01:18
这样重复$n$次 ...

$$\left.\left(x\frac d{dx}\right)^n[x^{-n}(x^2-1)^n]\right|_{x=1}=(2n)!!$$的Mathematica代码：

1. Table[Nest[D[#,x]&,x^-n(x^2-1)^n,n]==(2n)!!/.x->1,{n,6}]

复制代码

{True,True,True,True,True,True}

不加$x^{-n}$竟然也对
$$\left.\left(x\frac d{dx}\right)^n(x^2-1)^n\right|_{x=1}=(2n)!!$$的Mathematica代码：

1. Table[Nest[x D[#,x]&,(x^2-1)^n,n]==(2n)!!/.x->1,{n,6}]

复制代码

{True,True,True,True,True,True}

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-1-5 01:29
$$\left.\left(x\frac d{dx}\right)^n(x^2-1)^n\right|_{x=1}=(2n)!!$$的Mathematica代码：

若只求导，不乘$x$，竟然也对$$\left.\left(\frac d{dx}\right)^n(x^2-1)^n\right|_{x=1}=(2n)!!$$的Mathematica代码：的Mathematica代码：

1. Table[Nest[D[#,x]&,(x^2-1)^n,n]==(2n)!!/.x->1,{n,6}]

复制代码

{True,True,True,True,True,True}