最近讨论组的几道小题小小存个档

kuing

v6mm131 2024/4/7 21:34:14
假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的概率相同。
如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？

kuing 2024/4/7 22:38:06
zhuanlan.zhihu.com/p/537136089

链接中的评论说得好：

True
该问题其实只需做到对概率相关概念透彻理解即可，“高等”的做法是不必的，以下是我第一句所述的较为简单的方法（即高中方法），当然，前提是不产生歧义，如把每次分裂结果看作相互独立，而非为一整体等。
设A表示物种灭绝事件，B1表示第一个细胞分裂，B2表示第一个细胞死亡，根据全概率公式，有如下等式：
P（A）=P（A|B1）·P（B1）+P（A|B2）·P（B2）
很显然，P（B1）=50%，P（B2）=50%，P（A|B2）=1。P（A|B1）表示第一个细胞分裂的前提下，物种灭绝的概率，第一个细胞会分裂为两个独立的细胞，因此A|B1事件等同于“两个细胞各自分裂或死亡，最终物种灭绝的概率”，由于这两个细胞彼此独立，因此“两个细胞导致物种灭绝”的概率是“一个细胞导致物种灭绝”的概率的平方，即P（A|B1）=[P（A）]^2，这与编程中的递归算法异曲同工。
我们用p代替P（A），便可以得到如下等式：
p=（p^2）/2+1/2
解这个方程，会得到一个惊人的答案：p=1，物种必然会灭亡！（以上转自“统计学之家”网站，这似乎是我唯一能找到的描述这一方法的资料了，小处修改，有觉侵权者告知联系可删）
2022-09-27 · IP 属地江苏

v6mm131 2024/4/19 11:29:28
现在的概率题目好复杂啊  要不要讲条件期望和重期望

深圳中学的几道题都和条件期望有关

第一章 2024/4/19 11:40:19
重期望是不是全期望？

v6mm131 2024/4/19 11:40:50
是的

从 1, 2, 3, ..., n 这 n 个数中随机抽一个数记为 X，
再从 1, 2, 3, ..., X 中随机抽一个数记为 Y，
则 E(Y)=______

深圳中学二轮一阶段试题

夏雨雨人 2024/4/19 11:43:55
新方向啊

來ー妢铯圖KK 2024/4/19 14:15:15
凭直觉：E(X)=(n+1)/2, E(Y)=(E(X)+1)/2=(n+3)/4

我也不熟概率，刚才说的全凭直觉，不了解是否有理论支持

v6mm131 2024/4/19 14:24:18
有个全期望公式

我也不懂

【原聊天记录中还有一些相关公式的截图，就不贴了，找到相关链接代替之：
zhihu.com/question/58919546/answer/2928983744
mp.weixin.qq.com/s/thZa8g36YPFVJC_Zpg98Rw
zhuanlan.zhihu.com/p/417592820
】

生如夏花 2024/4/16 11:23:41
三角形内任意两点距离不大于该三角形的最大边。如何说理？

kuing 2024/4/16 22:55:54
记 △ABC 内的两点为 P、Q，点 A、B、C 在直线 PQ 上的投影为 A'、B'、C'，取这三个投影点的一头一尾，比如 A' 和 C'，那 P、Q 必在线段 A'C' 上（否则 P 或 Q 就在三角形外了），那么 PQ<=A'C'<=AC。

战巡

从 1, 2, 3, ..., n 这 n 个数中随机抽一个数记为 X，
再从 1, 2, 3, ..., X 中随机抽一个数记为 Y，
则 E(Y)=______

\[E(X)=\frac{n+1}{2}\]
\[E[Y|X]=\frac{1+X}{2}\]
\[E(Y)=E[E(Y|X)]=E[\frac{1+X}{2}]=\frac{n+3}{4}\]

kuing

爱咪哆 2024/5/8 23:18:40
[图片]
这个阴影部分面积怎么求来着，初中题
忘了

kuing 2024/5/9 0:20:33


爱咪哆 2024/5/9 0:27:02
初中题用反三角？

kuing 2024/5/9 0:36:42
这类题见得多了，有的还说小学题呢，基本上是坑人的
最后那面积表达式已经是最简，没得再化了，不可能绕过反三角

v6mm131 2024/5/15 7:45:25
若 `\cos x-\cos y+\cos(x-y)=0`，求 `\cos(x-y)` 的最大值。
求助

kuing 2024/5/15 14:21:58
$\begin{align*}
&t=\sin\frac{x-y}2\\
&0=\cos x-\cos y+\cos(x-y)\\
&=-2t\sin\frac{x+y}2+1-2t^2\\
&4t^2\geqslant(1-2t^2)^2\\
&2-\sqrt3\leqslant2t^2\leqslant2\\
&\cos(x-y)=1-2t^2\in\bigl[-1,\sqrt3-1\bigr]
\end{align*}$

v6mm131 2024/5/15 15:29:26
原题是这个

kuing

作 `\vv{PC}=-\vv{PA}`，则 `C` 在 `\odot O_2` 上，问题转化为：

`\triangle PBC` 的外接圆半径为 `1`，且 `\vv{PB}\cdot\vv{PC}=1`，求 `BC^2` 的最大值。

记 `PB=b`, `PC=c`, `BC=p`，并将 `\angle BPC` 简记为 `\angle P`，则
\[\vv{PB}\cdot\vv{PC}=1\iff bc\cos\angle P=1\iff b^2+c^2-p^2=2,\]
于是由正弦定理及均值有
\begin{align*}
p^2&=(2R\sin\angle P)^2\\
&=4(1-\cos^2\angle P)\\
&=4-\frac4{b^2c^2}\\
&\leqslant4-\frac{16}{(b^2+c^2)^2}\\
&=4-\frac{16}{(p^2+2)^2},
\end{align*}
由此得到
\[p^2\leqslant4-\frac{16}{(p^2+2)^2}\riff p^2\leqslant2\sqrt3.\]

kuing

wwd 在群里给出：

生如夏花(2365*****) 2024/5/16 9:19:06

o在线段PM上时，取等

kuing

来一道物理的换换口味：

生如夏花
将一个小球以速度 `v_0` 竖直向上抛出，已知小球经 `t` 时间上升到最高点，再经一段时间匀速经过抛出点时，速度大小为 `v_1`。空气阻力大小与小球速度大小成正比，重力加速度为 `g`，则下列判断正确的是（ ）
A. 小球运动到最高点速度为零处于平衡状态
B. 小球上升的最大高度为 `\dfrac{v_1(v_0-gt)}g`
C. 小球从抛出到落回抛出点上升过程中阻力的冲量大于下降过程中阻力的冲量
D. 小球运动的最大加速度大小为 `a=\dfrac{v_0}{v_1}g`

有空看看第一题C选项
普普通通53上的第一题，竟然这么难。

v6mm131
这个还好吧 微元法 学生应该是比较熟悉的啊
或者画个图象
容易得到是相等的

kuing
`I=\int f\rmd t=\int kv\rmd t=k\int v\rmd t=ks`
是这个意思吗

v6mm131
我感觉是这样的
物理上一般用西格玛符号

kuing
太久没撸物理，都不太记得啦
所以这题是选B？（D 最大加速度应该是 a = g+(v0/v1)g

用微元法的写法大概是这样？：
在微小时间 `\Delta t` 内，阻力冲量 `\Delta I=f\Delta t=kv\Delta t=k\Delta s`，则 `t` 时间内 `I=\sum \Delta I=k\sum\Delta s=ks`。
即由阻力与速度成正比可得阻力冲量与路程成正比。
设最大高度 `h`，则 `I=kh`，由动量定理 `mgt+I=mv_0`。
由回抛出点匀速（其实从纯数学角度只能无限接近匀速）有 `kv_1=mg`，代入上面得 `h=\frac{v_1}g(v_0-gt)`。
最大加速度为开始时，有 `ma=mg+kv_0=mg+\frac{mg}{v_1}v_0`，得 `a=g+\frac{v_0}{v_1}g`。

战巡

kuing 发表于 2024-5-30 14:23
来一道物理的换换口味：

用微元法的写法大概是这样？：

真正的物理上就是用积分的啊，只有微积分知识极度匮乏的高中才会被迫用微元