一个有关三角形外心的不等式

lemondian

若O为$\triangle ABC$的外心，则有$AO^2+BO^2+CO^2\geqslant \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.如何证明？

游客

任意给定一个圆，在圆上取定2个点，由余弦定理结合基本不等式可知，
当第三个点为非劣弧的中点时，另两边的平方和最大，
从而得到，圆的内接三角形中，正三角形的边长的平方和最大。
进一步还可以得出关于任意三角形的三角函数的结论，
比如cosAcosBcosC≤1/8。

kuing

话说，为什么不直接写成 $a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2$？

利用正弦定理
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2
&\iff \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leqslant\frac94\\
&\iff \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\geqslant\frac34,
\end{align*}
而这根据恒等式 $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$ 及均值可知成立。

写到这里感觉以前也写过同样的东西，算了懒得找了……

还可以用向量玩，因为
\[3\vv{OG}=\vv{OA}+\vv{AG}+\vv{OB}+\vv{BG}+\vv{OC}+\vv{CG}
=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC},\]
平方得
\begin{align*}
9OG^2&=OA^2+OB^2+OC^2+2OA\cdot OB\cos2C+2OA\cdot OC\cos2B+2OB\cdot OC\cos2A\\
&=3R^2+2R^2(\cos2A+\cos2B+\cos2C),
\end{align*}
从而 $\cos2A+\cos2B+\cos2C\geqslant-3/2$，二倍角公式后即得 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leqslant9/4$。

敬畏数学

回复 3# kuing
这个向量解法，很有威力啊！

hbghlyj

在费尔巴哈定理 向量证明的Lemma中取$d_a=d_b=d_c=\frac13$得
$$OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}9$$
利用正弦定理
$$0\le OG^2/R^2=1-4\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}9$$
即$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\le\frac94$$