一个有关三角形外心的不等式

lemondian

若O为$\triangle ABC$的外心，则有$AO^2+BO^2+CO^2\geqslant \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.如何证明？

游客

任意给定一个圆，在圆上取定2个点，由余弦定理结合基本不等式可知，
当第三个点为非劣弧的中点时，另两边的平方和最大，
从而得到，圆的内接三角形中，正三角形的边长的平方和最大。
进一步还可以得出关于任意三角形的三角函数的结论，
比如cosAcosBcosC≤1/8。

kuing

话说，为什么不直接写成 $a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2$？

利用正弦定理
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2
&\iff \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leqslant\frac94\\
&\iff \cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\geqslant\frac34,
\end{align*}
而这根据恒等式 $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$ 及均值可知成立。

写到这里感觉以前也写过同样的东西，算了懒得找了……

还可以用向量玩，因为
\[3\vv{OG}=\vv{OA}+\vv{AG}+\vv{OB}+\vv{BG}+\vv{OC}+\vv{CG}
=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC},\]
平方得
\begin{align*}
9OG^2&=OA^2+OB^2+OC^2+2OA\cdot OB\cos2C+2OA\cdot OC\cos2B+2OB\cdot OC\cos2A\\
&=3R^2+2R^2(\cos2A+\cos2B+\cos2C),
\end{align*}
从而 $\cos2A+\cos2B+\cos2C\geqslant-3/2$，二倍角公式后即得 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leqslant9/4$。

敬畏数学

回复 3# kuing
这个向量解法，很有威力啊！

hbghlyj

在费尔巴哈定理 向量证明的Lemma中取$d_a=d_b=d_c=\frac13$得
$$OG^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}9$$
利用正弦定理
$$0\le OG^2/R^2=1-4\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}9$$
即$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\le\frac94$$

isee

命题：在 $\triangle ABC$ 中，由第一余弦定理知 $a=b\cos C+c\cos B$， $b=c\cos A+a\cos C$， $c=a\cos B+b\cos A$，从而可证： $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1.$

依题知关于 $x,y,z$ 的齐次线性方程组 \[\left\{\begin{aligned}x-y\cos C-z\cos B=0,\\[1ex]
x\cos C-y+z\cos A=0,\\[1ex]
x\cos B+y\cos A-z=0, \end{aligned}\right.\] 有非零解 $(x,y,z)=(a,b,c)$，从而其系数矩阵行列式为零，即

\[\begin{vmatrix} 1 & -\cos C & -\cos B \\[1ex]
\cos C & -1 & -\cos A\\[1ex]
\cos B & \cos A & -1 \end{vmatrix} =0\] 展开行列式即证.

源自知乎提问区



也就是有恒等式 \[\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1{\color{red}{-}}2\cos A\cos B\cos C.\tag{01}\] 而 \[\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=3-\left(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C\right),\] 结合以上两式，需求 ${\color{red}{\cos A\cos B\cos C}}:=T$ 的最大值.

所以需要考虑三角形 ABC 为锐角三形即可，此时 $(01)$ 式依三元均值不等式，有 \[1-2T\geqslant 3\sqrt[{\color{red}{3}}]{T^2}\iff T\leqslant \frac18.\] 从而 \[\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2+2T\leqslant \frac94.\]

其妙

由$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\geqslant 0$立得楼主的题目的证明，😁

kuing

其妙 发表于 2025-7-6 15:36
由$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)\geqslant 0$立得楼主的题目的证明，😁

那要是被问到这等式怎么来的，你还是得去写推导，而方法往往是用向量，那大概也和 3# 后半差不多。

贴结论的话，不如贴个更一般的：
定理（惯性矩不等式）设 `P` 为 `\triangle ABC` 所在平面上的任意一点，则对任意 `x`, `y`, `z\inR` 有
\[(x+y+z)(xPA^2+yPB^2+zPC^2)\geqslant yza^2+zxb^2+xyc^2.\]
（证法也是用向量 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … =38206&ptid=7640）

令此结论中令 `P` 为 `O` 得
\[(x+y+z)^2R^2\geqslant yza^2+zxb^2+xyc^2,\]
再令 `x=y=z=1` 即得 `a^2+b^2+c^2\leqslant 9R^2`。