由2018年北京卷文科第20(3)直线定向 三点共线

isee

2018年北京卷文科 第20(3)是以下题目的逆命题（即原题是以下的 反之亦成立)

题干：斜率为$k$的直线$l$与椭圆$\varGamma :\frac{x^2}3+y^2=1$有两个不同的交点$A$，$B$，设$P(-2,0)$，直线$PA$与椭圆$\varGamma $的另一个交点为$C$，直线$PB$与椭圆$\varGamma $的另一个交点为$D$．若$k=1$，求证：直线$CD$过定点$Q\left( -\frac 74,\frac 14 \right)$．反之亦成立．

发现 实际是这帖中的7楼，且我原在10楼的构图是不正确(不准确）的。

kuing

玩调和什么的应该是这样吧：

因为 P, D, I, B 调和，所以 P, G, N, H 调和，当 $AB\px PN$ 时 H 无穷远，此时 G 为 PN 中点，反之亦然，也就是原题的结论。

isee

回复 2# kuing

命题的背景大约就这个样子了。

不过，我是发现若k=1，则题中$PQ$与$AB$实际是平行，伸缩变换后于是研究圆发现是顶楼连接的7#，再发现10#不准确，然后才联想到你写的2楼，不过，略不同，图不同，用的调和线束。(画几何图还是几何画板顺）





把这些东西隐藏掉，真格解析代数计算(文科生)还是比较麻烦的...

特别是如果不告诉这个Q，解析法如何求出呢？

kuing

原来在这里 \varGamma 也可以用……PS、还有一个 \tau 没改成 \varGamma

isee

回复 4# kuing

没大写的tau，顺手一个varGamma，竟然成了。。

kuing

回复 3# isee

对解析法木有性趣……

isee

接3楼，解析法参考如下。

设$A(x_1,y_2)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$，则
\begin{equation} x_i^2+3y_i^2=3,i=1,2,3,4.\tag{01}\label{eq01}\end{equation}

设直线$AB:y=x+m$($m$满足$3+1>m^2$)，则$y_j=x_j+m,j=1,2$.

设直线$$PA:y=k_1(x+2),k_1=\frac{y_1}{x_1+2},$$与椭圆方程联立$y$得$$(1+3k_1^2)x^2+12k_1^2x+12k_1^2-3=0,$$于是
\begin{equation} x_1x_3=\frac{12k_1^2-3}{1+3k_1^2},\Rightarrow x_3=\frac{12k_1^2-3}{(1+3k_1^2)x_1},\tag{02}\label{eq02}\end{equation}
将\eqref{eq01}及$k_1=y_1/(x_1+2)$代入\eqref{eq02}化简整理得$$x_3=\frac{-7x_1-12}{4x_1+7}.$$于是$$C\left(\frac{-7x_1-12}{4x_1+7},\frac{y_1}{4x_1+7}\right).$$

同理得到$$D\left(\frac{-7x_2-12}{4x_2+7},\frac{y_2}{4x_2+7}\right).$$

于是
\begin{align*}
k_{CD}&=\frac{y_1/(4x_1+7)-y_2/(4x_2+7)}{(-7x_1-12)/(4x_1+7)-(-7x_2-12)/(4x_2+7)}\\[2em]
&=\frac{4x_2y_1-x_1y_2+7(x_1-x_2)}{-x_1+x_2}
\end{align*}
将$y_j=x_j+m,j=1,2$代入
\begin{align*}
k_{CD}&=\frac{4m(x_2-x_1)+7(x_1-x_2)}{-x_1+x_2}\\[2em]
&=4m-7
\end{align*}

所以$CD$直线方程为
\begin{gather*}
y-\frac{y_1}{4x_1+7}=(4m-7)\left(x-\frac{-7x_1-12}{4x_1+7}\right)\\[2em]
(4x_1+7)y-y_1=(16mx_1+28m-28x_1-49)x+(4m-7)(7x_1+12)=0\\[2em]
(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+48m-49x_1-84+x_1+m=0,\text{注意$y_1=x_1+m$即化归为$x_1,m$}\\[2em]
\color{red}{(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+49m-48x_1-84=0},\tag{03}\label{eq03}
\end{gather*}

观察\eqref{eq03}，当$$x=-\frac 74,y=\frac 14$$时，恒成立，即$CD$恒过定点$(-7/4,1/4)$.

kuing

回复 7# isee

如果 P 不在坐标轴上，前半部分的消元法恐怕就不好使了吧？比如改成 `P(-7/4,1/4)`

isee

回复 8# kuing

的确如此，我试消$x$过，不好算。
一般情况下，怕只好平移变换了（或者上曲线系），将P变换成原点。

话说回来，仅特殊点已经在高考范围内够忙一会儿了。。。。。。

kuing

回复 9# isee

平移应该也是没什么用的，曲线系倒是可以。

isee

回复 10# kuing


有空搞来学习下。
多半又是两条直线相乘的的形式喽。。

kuing

回复 11# isee

自然是的咯。

就照我随手改的 `P(-7/4,1/4)` 来做。

设直线 `AC`, `BD`, `AB`, `CD` 的方程分别为
\begin{align*}
f_1&=k_1\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_2&=k_2\left( x+\frac74 \right)-y+\frac14=0,\\
f_3&=x-y+m=0,\\
f_4&=ax-y+c=0,
\end{align*}
那么，曲线系
\[f_1f_2+t\cdot f_3f_4=0,\]
表示过 `A`, `B`, `C`, `D` 四点的所有二次曲线（除 `f_3f_4=0` 外），将其展开为
\begin{align*}
&16(k_1k_2+at)x^2+16(1+t)y^2-16(k_1+k_2+t+at)xy\\
&{}+4(k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt)x-4(2+7k_1+7k_2+4ct+4mt)y\\
&{}+1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt=0,
\end{align*}
则存在 `t` 使得
\[k_1+k_2+t+at=k_1+k_2+14k_1k_2+4ct+4amt=2+7k_1+7k_2+4ct+4mt=0,\]
且
\[16(1+t)=3\cdot16(k_1k_2+at)=-(1+7k_1+7k_2+49k_1k_2+16cmt),\]
变量虽然多，但消元很好消（当然了，实际上我开 MMC），先消 `k_1`, `k_2`，简单的整体代入即可，化简后为
\begin{align*}
14 + 11 t - 45 a t + 12 c t + 12 a m t &= 0,\\
7 t + 7 a t - 4 c t - 4 m t - 2 &= 0,\\
-19 t + 42 a t - 12 c m t - 25 &= 0,
\end{align*}
然后消 `m` 得
\begin{align*}
14 - 6 a + 11 t - 24 a t + 21 a^2 t + 12 c t - 12 a c t &= 0,\\
6 c - 19 t + 42 a t - 21 c t - 21 a c t + 12 c^2 t - 25 &= 0,
\end{align*}
最后消 `t`，化简后得
\[(13 a - 8 c + 3) (7 a - 4 c + 1)=0,\]
如果 `7 a - 4 c + 1 = 0` 则代回去后发现 `m=2` 不符合，所以
\[13 a - 8 c + 3 = 0,\]
由此可见 `CD`: `ax-y+c=0` 必过点 `(-13/8,3/8)`。

isee

回复 12# kuing

这计算量也大怕人，学习了。

PS：MMC消元有现成入门的成品不？

kuing

回复 13# isee

像12#这种消元由于简单次数低并不需要什么方法，消 k 和 m 都是手工复制粘贴然后化简的，最后消 t 是用 Solve 解其中一个然后代入另一个再 Factor 一下就出来了。
如果次数高，可以用结式 Resultant。

kuing

回复 13# isee

其实还有一个命令叫 Eliminate，似乎就是用来消元的，但是我一直对它不太理解，因为它总是会产生多余方程，所以一直没怎么用过。

例如，就用上面的例子来讲，方程组：

1. eqns = {k1 + k2 + t + a t == 0,
2.   k1 + k2 + 14 k1 k2 + 4 c t + 4 a m t == 0,
3.   2 + 7 k1 + 7 k2 + 4 c t + 4 m t == 0,
4.   16 (1 + t) == 3*16 (k1 k2 + a t),
5.   16 (1 + t) == -(1 + 7 k1 + 7 k2 + 49 k1 k2 + 16 c m t)};

复制代码

一共五条方程，消 k1, k2 后应该剩下三条才对，但是：

1. Eliminate[eqns, {k1, k2}]

复制代码

却得出：

1. 91 a == -47 + 56 c + 70 t + 4 c t - 52 m t &&
2. c t (2 + 2 t) == 13 - 22 t + 26 m t - 35 t^2 + 26 m t^2 &&
3. c (-22 + 12 m + 2 t) == -83 + 50 m - 35 t + 26 m t &&
4. m (6 - 42 t) + 12 m^2 t == 11 - 37 t

复制代码

不但有一条多余，而且每一条和我上面算出来的都不同（但这不代表方程有错，实际上这和我的是同解的），可见它的消元算法应该不是简单的代入消元。

消单变量也会这样，再用上面消 m 的例子：

1. eqns2 = {14 + 11 t - 45 a t + 12 c t + 12 a m t == 0,
2.    7 t + 7 a t - 4 c t - 4 m t - 2 == 0,
3.    -19 t + 42 a t - 12 c m t - 25 == 0};
4. Eliminate[eqns2, m]

复制代码

得出：

1. (-24 + 24 a) c == -37 - 18 a + 39 a^2 - 31 t + 18 a t -
2.    3 a^2 t && -256 c + 64 c^2 == -339 - 230 a + 169 a^2 - 279 t +
3.    162 a t - 27 a^2 t && c (8 + 8 t) == 3 + 13 a + 3 t + 13 a t &&
4. a^2 t (3 + 3 t) + a (-12 - 30 t - 18 t^2) == -28 - 59 t - 31 t^2

复制代码

多了两条。

两条方程消一个变量时才得出我预期的效果：

1. eqns3 = {14 - 6 a + 11 t - 24 a t + 21 a^2 t + 12 c t - 12 a c t == 0,
2.     6 c - 19 t + 42 a t - 21 c t - 21 a c t + 12 c^2 t - 25 == 0};
3. Eliminate[eqns3, t]

复制代码

得出：

1. -3 + 20 c - 32 c^2 == 91 a^2 + a (34 - 108 c)

复制代码

再 FullSimplify[%] 一下就得到分解：

1. (3 + 13 a - 8 c) (1 + 7 a - 4 c) == 0

复制代码

~~~

但是，如果不需要写中间过程，纯粹是要得出 a,c 的关系，那这个命令倒是好用：

1. Eliminate[eqns, {k1, k2, m, t}]

复制代码

直接得出：

1. -3 + 20 c - 32 c^2 == 91 a^2 + a (34 - 108 c)

复制代码

~~~

另外，为了排除其中一条等式，我们可以保留 m 不消，即：

1. Eliminate[eqns, {k1, k2, t}]

复制代码

得出：

1. 91 a == -213 + 100 c + 100 m - 24 c m &&
2. c (22 - 23 m + 6 m^2) == 96 - 98 m + 25 m^2

复制代码

FullSimplify[%] 一下变成：

1. 213 + 91 a + 4 c (-25 + 6 m) == 100 m &&
2. (-2 + m) (48 - 25 m + c (-11 + 6 m)) == 0

复制代码

所以有个 `m=2` 的解，代回去得 1 + 7 a == 4 c，这就是要排除的，当 `m\ne2` 时：

1. Eliminate[213 + 91 a + 4 c (-25 + 6 m) == 100 m &&
2.   48 - 25 m + c (-11 + 6 m) == 0, m]

复制代码

即得 -3 + 8 c == 13 a。

kuing

我是不是扯得太多了……

isee

回复  isee

平移应该也是没什么用的，曲线系倒是可以。
kuing 发表于 2018-7-17 16:32

就8#的数据，将$P(-7/4,1/4)$(及椭圆全部)平移至原点，数据能算且还“不坏”。

(作平移变换$\left\{\begin{aligned} x'=x+\frac 74,\\y'=y-\frac 14.\end{aligned}\right. $)

以下字母为新字母，$P$，$A,\cdots$字母都对应原来的字母。

椭圆此时为$x^2+3y^3-\frac 72x+\frac 32y+\frac 14=0$，同7#同样方法计算，设PA（过原点）直线方程，求得$C\left(\frac{x_1}{8x_1-6m-1},\frac{x_1+m}{8x_1-6m-1}\right),D(\cdots)$.

这时$k_{CD}=\frac{14m+1}{6m+1}$，$CD$直线方程整理成整式为$$(-84m^2+112mx_1-20m+8x_1-1)x+(36m^2-48mx_1+12m-8x_1+1)y-8mx_1+6m^2+m=0.$$
假如过定点的话，设定点为$(x_0,y_0)$，用待定系数法求出$x_0=1/8,y_0=1/8$，结果正好与曲线系一致。

isee

回复 16# kuing

详细照顾我这样的新手，很好的。
只是用mathematica用得极少，比如简单的如a(a+b)+2b的合并化简都要临场搜索，所以，这个慢慢消化中。

PS:之所以MMC似乎很奇怪，就是有时候是自然语言，有时候须加命令，如3x*3=9x，3!=6自然语言，而 a(a+b)要打开括号却须命令。

还有些细节，真是让人头痛，如 a(a+b)+ab 和 a(a+b)+a b 是不一样的，总之，自与非自之间就矛盾重重，，，

kuing

回复 17# isee

噢？平移居然可以，但是平移不改变本质，那么不平移也应该可以的啊

kuing

回复  isee

噢？平移居然可以，但是平移不改变本质，那么不平移也应该可以的啊 ...
kuing 发表于 2018-7-20 15:32

嗯，可以是可以，但计算麻烦了，平移虽然不改变本质，但可以优化计算，这也是换元的意义所在。（废话）

`x^2+3y^2=3`, `PA`: `y=k_1(x+7/4)+1/4`，消 `y` 为
\[x^2+3\left( k_1\left( x+\frac74 \right)+\frac14 \right)^2=3,\]整理为\[(1+3k_1^2)\left( x+\frac74 \right)^2+\left( -\frac72+\frac32k_1 \right)\left( x+\frac74 \right)+\frac14=0,\]得\[\left( x_1+\frac 74 \right)\left( x_3+\frac74 \right)=\frac1{4(1+3k_1^2)},\]
将 `k_1=(y_1-1/4)/(x_1+7/4)` 代入并利用 `x_1^2+3y_1^2=3` 可将其化简为
\[\left( x_1+\frac74 \right)\left( x_3+\frac74 \right)=\frac{(4x_1+7)^2}{16(14x_1-6y_1+25)}=\frac {(4x_1+7)^2}{16(8x_1-6m+25)},\]
得到
\[x_3=\frac{4x_1+7}{4(8x_1-6m+25)}-\frac74,\]
然后
\begin{align*}
y_3&=k_1\left( x_3+\frac74 \right)+\frac14\\
&=\frac{y_1-1/4}{x_1+7/4}\cdot\frac{4x_1+7}{4(8x_1-6m+25)}+\frac14\\
&=\frac{4x_1+4m-1}{4(8x_1-6m+25)}+\frac14,
\end{align*}
同理
\begin{align*}
x_4&=\frac{4x_2+7}{4(8x_2-6m+25)}-\frac74,\\
y_4&=\frac{4x_2+4m-1}{4(8x_2-6m+25)}+\frac14,
\end{align*}
因为 `CD` 的方程为
\[(y_3-y_4)x-(x_3-x_4)y+x_3y_4-x_4y_3=0,\]
不难计算出
\begin{align*}
y_3-y_4&=-\frac {(14m-27)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},\\
x_3-x_4&=-\frac {(6m-11)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},\\
x_3y_4-x_4y_3&=-\frac {(25m-48)(x_1-x_2)}{(6m-8x_1-25)(6m-8x_2-25)},
\end{align*}
于是 `CD` 的方程为
\[(14m-27)x-(6m-11)y+25m-48=0,\]即\[m (14 x-6 y+25)-27 x+11 y-48=0,\]
由此即得恒过 `(-13/8, 3/8)`。