由2018年北京卷文科第20(3)直线定向 三点共线

isee

回复 20# kuing

这种计算量对你简直就是入门级的~~

当然，具体处理也灵活多变，这也解析法的长处。

很多高考题将某点平移至原点会明显简化计算……可惜的是一般都没这个意识……

kuing

回复 21# isee

我刚才最后还计算错了，还好我决定把后面的也写完，这才发现。

后面我的计算方法和你的不太一样，我直接把 CD 关于 m 的表达式求了出来。

isee

回复 22# kuing

更牛啊，直线系了，都

其实我也倾向于直接用CD直线的一般式，只不过，特别是文科生，更喜欢点斜式多一些，所以计算方向亦有差别。

互为补充印证，挻好的，解析法也赞。




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7# 果然“处理得不干净”
对(03)
\begin{align*}
(16mx_1+28m-28x_1-49)x-(4x_1+7)y+28mx_1+49m-48x_1-84&=0\\[2em]
(4x_1(4m-7)+7(4m-7))x-(4x_1+7)y+4x_1(7m-12)+7(7m-12)&=0\\[2em]
(4x_1+7)(4m-7)x-(4x_1+7)y+(4x_1+7)(7m-12)&=0\\[2em]
(4m-7)x-y+7m-12&=0\\[2em]
-7x-y-12+m(4x+7)&=0\tag{03a}\label{eq03a}
\end{align*}
这样\eqref{eq03a}就简明多了。

kuing

回复 23# isee

才发现你更新了这帖……

lemondian

上面的讨论是改变P点坐标，如果是这样呢：
（1）若k=2（或其它值），直线CD是否过某个定点？
（2）若（1）成立，那么P的坐标改变，直线CD是否还过定点？

kuing

上面的讨论是改变P点坐标，如果是这样呢：
（1）若k=2（或其它值），直线CD是否过某个定点？
（2）若（1） ...
lemondian 发表于 2018-7-22 00:56

还问这样的问题说明你完全没有理解 1#~3# 所说的命题背景。

lemondian

回复 26# kuing

高等几何等东西看得难了，

lemondian

回复 17# isee
C点的坐标如何求出来呢？能写详细些就好了。

isee

回复 28# lemondian

有交待，与7#（有具体求法）同

lemondian

回复 29# isee
今天再搞搞此题，是不是有这样的结论？
$斜率为k的直线l与椭圆Γ:\frac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0)交于A，B两点，$
$设P(x_0,y_0)，直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D．则直线CD过定点．$
如果命题正确，请求出定点坐标。

lemondian

回复 30# lemondian
@isee

kuing

今天再搞搞此题，是不是有这样的结论？
$斜率为k的直线l与椭圆Γ:\frac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2} ...
lemondian 发表于 2018-9-10 15:09

可见如今你依然没理解 1#~3# 所说的命题背景。
唉，算了，还是再画一次图，就是把 2# 的图稍微变一下。

如图，作切线 `PM`, `PN`，再过 `P` 作 `AB` 的平行线与 `MN`, `CD` 分别交于 `G`, `H`。

由于 `P`, `D`, `I`, `B` 调和，故 `P`, `H`, `G`, `\infty` 调和（`\infty` 表示无穷远点），所以 `H` 为 `PG` 的中点。

由于 `AB` 的斜率为定值，故显然 `G` 为定点，从而 `H` 亦为定点，所以 `CD` 过定点 `H`。

lemondian

回复 32# kuing
@kuing:见笑了，主要是对调和不是很明白，虽说很想学一下这方面的知识，总是找借口不学。。。。
我是想用高中解几的知识来求#30（一般情况下）这个定点的坐标，用isee的方法发现参数太多，没啥信心算下去。所以求助两位，看看这个定点的坐标是什么？

色k

回复 33# lemondian

那你可以依据 32# 的作法把 H 的坐标算出来，再验证是否符合你自己算出来的方程

lemondian

回复 34# 色k


    调和方法不懂，你可以写一个吗？

色k

回复 35# lemondian

。。。。。。。。。。别跟我说MN的方程你不会写

lemondian

回复 36# 色k
明白了，这个方法真好！至少运算量太太减少了！
谢谢@色K,@kuing

lemondian

回复 32# kuing
我用isee的方法验证：双曲线与抛物线也有类似的性质，不知在双曲线和抛物线中是否也可用这样的调和知识来解释？@kuing

色k

回复 38# lemondian

肯定是可以的，32# 的过程本来就不限于曲线类型，调和的性质在任意二次曲线上都成立。

kuing

回复 38# lemondian

还有，P 也可以在内部，这时 MN 就不是切点弦了，而应该用一般化的描术——极线。

一般化的结论如下：

给定一条二次曲线 `\Gamma`，设 `A`, `B`, `C`, `D` 为 `\Gamma` 上不同的四点，直线 `AC`, `BD` 交于 `P`，记 `P` 关于 `\Gamma` 的极线为 `l_P`，过 `P` 作 `AB` 的平行线与 `l_P`, `CD` 分别交于 `G`, `H`，则 `H` 为 `PG` 中点。

那么，当 `P` 为定点且 `k_{AB}` 为定值时，`G` 就是定点，因而 `H` 亦为定点，即 `CD` 过定点 `H`。

注意这里没有规定 `A`, `B`, `C`, `D` 四点在 `\Gamma` 上的排列顺序，所以 `P` 在曲线内外都可以，极线 `l_P` 与 `\Gamma` 交不交都可以。



无论怎么变，`H` 都是 `PG` 的中点。