求证一个三角不等式

lemondian

在$\triangle ABC$中，$a,b,c$是$\triangle ABC$对应的边，$m,n\inR$，且$m>0,n\geqslant 1$  ，证明或否定：$a^m\cos^n\frac{A}{2}+b^m\cos^n\frac{B}{2}+c^m\cos^n\frac{C}{2}\leqslant (\frac{\sqrt{3}}{2})^n(a^m+b^m+c^m)$

kuing

lemondian 发表于 2023-4-14 15:47
在$\triangle ABC$中，$a,b,c$是$\triangle ABC$对应的边，$m,n\inR$，且$m>0,n\geqslant 1$  ，证明：$a^m\cos^n\frac{A}{2}+b^m\cos^n\frac{B}{2}+c^m\cos^n\frac{C}{2}\leqslant (\frac{\sqrt{3}}{2})^n(a^m+b^m+c^m)$

如果是你自己想出来的问题，但自己也未能肯定它成立，那后面不应该写“证明”而应该写“证明或否定”或者“猜想”。

在我考虑极端情形后发现不等式并不成立，反例如下：

当 `a=b=1`, `c\to2` 时 `A=B\to0`, `C\to\pi`，此时 `\LHS\to2`, `\RHS\to(\frac{\sqrt3}2)^n(2+2^m)`，由于 `\frac{\sqrt3}2\in(0,1)`，那么当 `n` 比较大时，右边一定小于左边。

lemondian

kuing 发表于 2023-4-14 18:24
如果是你自己想出来的问题，但自己也未能肯定它成立，那后面不应该写“证明”而应该写“证明或否定”或者 ...

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