角平分线与定圆相切

hbghlyj

点P轨迹为前帖三倍角产生的曲线（Wikipedia）。

点A、B、P满足β+180°=3α，求证： 角APB的平分线与以B为圆心、$\frac{AB}2$为半径的圆相切.

hbghlyj

設AD$\perp$PC.

$BC:CA=BP:PA=\sin\beta:\sin\alpha=-\sin3\alpha:\sin\alpha$ $DA:CA=\sin\angle PCA=\sin\frac{\alpha+\beta}2=\cos2\alpha$ $$\frac{DA}{AB}=\frac{DA}{CA}\frac{CA}{AB}=\cos2\alpha\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha-\sin3\alpha}=\frac12$$ 证毕。

hbghlyj

才发現，只計算角就能證明：
設AD交PB于E，則PA=PE.
$\angle PCA=\frac{\alpha+\beta}2=2\alpha-90$°
$\angle CAD=\angle PCA-90$°$=2\alpha-180$°
$\angle ABE=90$°$-\alpha$
$\angle AEB=180$°$-\angle CAD-\angle ABE=90$°$-\alpha$
$\therefore \angle AEB=\angle ABE$
$\therefore AB=AE=2AD$