来自人教论坛的2012安徽预赛$f(f(f(x)))$最小正周期

kuing

wzxsjz
f(x)=arcsin(cosx), 则f(f(f(x)))的最小正周期是________
求过程，谢谢了！

链接：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2872563
原题的解答已经在链接的2#里有了，这里就不再详写，这里我就扯扯f(x)迭代式的具体表达式。

\(\newcommand\sgn{\mathrm{sgn}}\)
这里记符号函数为 $\sgn$，即 $\sgn(x)=\begin{cases}
1,&x>0,\\
0,&x=0,\\
-1,&x<0.
\end{cases}$由此易得 $\abs x=\sgn(x)\cdot x$。
又记 $f(x)$ 的 $n$ 次迭代为 $f^n(x)$，即 $f^n(x)=\underbrace{f(f(\cdots f(x)\cdots))}_{n~\text{层括号}}$。
注意到恒等式 $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$，于是
\begin{align*}
f(x)&=\arcsin(\cos x),\\

f^2(x)&=\arcsin(\cos(\arcsin(\cos x)))\\
&=\arcsin\sqrt{1-\cos^2x}\\
&=\arcsin\abs{\sin x}\\
&=\sgn(\sin x)\arcsin(\sin x),\\

f^3(x)&=f^2(f(x))\\
&=\sgn(\sin(\arcsin(\cos x)))\arcsin(\sin(\arcsin(\cos x)))\\
&=\sgn(\cos x)\arcsin(\cos x)\\
&=\sgn(\cos x)f(x),\\

f^4(x)&=f(f^3(x))\\
&=\arcsin(\cos(\sgn(\cos x)f(x)))\\
&=\arcsin(\cos(f(x)))\\
&=f^2(x),
\end{align*}
如此即得，当 $n\geqslant4$ 时 $f^n(x)=f^{n-2}(x)$，故此，设 $k\in\mbb N^+$，则
\[f^n(x)=\begin{cases}
\arcsin(\cos x),&n=1,\\
\sgn(\sin x)\arcsin(\sin x),&n=2k,\\
\sgn(\cos x)\arcsin(\cos x),&n=2k+1.
\end{cases}\]
或者干脆写回绝对值，即
\[f^n(x)=\begin{cases}
\arcsin(\cos x),&n=1,\\
\arcsin\abs{\sin x},&n=2k,\\
\arcsin\abs{\cos x},&n=2k+1.
\end{cases}\]

kuing

实际上这些全是折线，分段讨论一下就可以了，图我就懒得画了，大家可以想象一下大概。

其妙

还把一般解析式都搞得出来了啊！
牛笔！

kuing

回复 3# 其妙

无心之作，本来也只是想解那道题，结果玩下来才发现可以搞到一般的迭代解析式……

nash

NB
话说这题刚出来的时候，做过
当时只会试答案…

其妙

回复 5# nash
你也厉害啊！现在人教版都没有来了反三角函数了吧？

kuing

话说，刚才想把对偶的 $g(x)=\arccos(\sin x)$ 的迭代式也用类似方法搞一搞，不过突然发现可以转化为上面的 $f(x)$。

因为
\[g(x)=\arccos(\sin x)=\frac\pi2-\arcsin\left( \cos\left( \frac\pi2-x \right) \right)=\frac\pi2-f\left( \frac\pi2-x \right),\]
故
\begin{align*}
g^2(x)&=\frac\pi2-f\left( \frac\pi2-\left( \frac\pi2-f\left( \frac\pi2-x \right) \right) \right)=\frac\pi2-f^2\left( \frac\pi2-x \right), \\
g^3(x)&=g(g^2(x))=\frac\pi2-f\left( \frac\pi2-\left( \frac\pi2-f^2\left( \frac\pi2-x \right) \right) \right)=\frac\pi2-f^3\left( \frac\pi2-x \right), \\
\cdots&\cdots\\
g^n(x)&=\frac\pi2-f^n\left( \frac\pi2-x \right).
\end{align*}

kuing

代入前面的结论之后也就是
\[g^n(x)=\begin{cases}
\arccos(\sin x),&n=1,\\
\arccos\abs{\cos x},&n=2k,\\
\arccos\abs{\sin x},&n=2k+1.
\end{cases}\]
跟 f(x) 多对偶