曲线的有理参数化

hbghlyj

en.wikipedia.org/wiki/Rational_variety#L%C3%BCroth%27s_theorem
Lüroth's theorem
J. Lüroth 关于有理曲线的定理的证明 Beweis eines Satzes über rationale Curven 发布:1875 年 6 月
Rational Function Decomposition - Cornell eCommons
《The theory of ruled surfaces》第4页$\dagger$注脚：

如果一个曲线具有参数化$(x_0,\dots,x_n)=(f_0(t),\dots,f_n(t))$，其中$f_0(t),\dots,f_n(t)$均为有理函数（即两个多项式之商），
则我们可以将该曲线重新参数化为$(x_0,\dots,x_n)=(g_0(s),\dots,g_n(s))$，其中$g_0(s),\dots,g_n(s)$均为有理函数，且$s$为$t$的有理函数，且$s$为坐标$x_0,\dots,x_n$的有理函数（因此曲线上一点$x_0,\dots,x_n$对应于唯一的参数$s$）

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例子，参数曲线$(x_0,x_1,x_2)=(1,t^{70},t^{30}+1)$，可重新参数化为$(1,s^7,s^3+1)$，使$s$可表为$t$的有理函数$s=t^{10}$，且$s$可表为坐标$x_0,x_1,x_2$的有理函数：$s=x_0x_1/(x_2-x_0)^2$.

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设参数曲线为\[
x=\frac{f(\lambda)}{\psi(\lambda)}, \quad y=\frac{\varphi(\lambda)}{\psi(\lambda)}
\]
设
$f(\lambda )\text{:=}\left(\lambda ^2+1\right)^2$
$\psi (\lambda )\text{:=}\lambda ^4+3 \lambda ^2+1$
$\phi (\lambda )\text{:=}\lambda  \left(\lambda ^2+1\right)$

1. f[\[Lambda]_]:=(\[Lambda]^2+1)^2;
2. \[Phi][\[Lambda]_]:=\[Lambda](\[Lambda]^2+1);
3. \[Psi][\[Lambda]_]:=\[Lambda]^4+3\[Lambda]^2+1;

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设$
\Psi\left(\lambda, \lambda_1\right)$为$f(\lambda ) \psi (\lambda_1)-f(\lambda_1) \psi (\lambda )$与$\phi (\lambda ) \psi (\lambda_1)-\psi (\lambda ) \phi (\lambda_1)$的最大公因式：\[\Psi\left(\lambda, \lambda_1\right)
=\lambda^2 \lambda_1-\lambda\left(\lambda_1^2+1\right)+\lambda_1
\]

1. PolynomialGCD[f[\[Lambda]]\[Psi][\[Lambda]1]-f[\[Lambda]1]\[Psi][\[Lambda]],\[Phi][\[Lambda]]\[Psi][\[Lambda]1]-\[Phi][\[Lambda]1]\[Psi][\[Lambda]]]

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将$\Psi(\lambda,\lambda_1)$整理为$\lambda$的多项式，设其系数为$\varphi_0(\lambda_1),\dots,\varphi_n(\lambda_1)$：\[
\Psi(\lambda,\lambda_1)=\varphi_0\left(\lambda_1\right) \lambda^n+\varphi_1\left(\lambda_1\right) \lambda^{n-1}+\cdots+\varphi_n\left(\lambda_1\right)
\]
这里$n=2,$$$\varphi_0\left(\lambda_1\right)=\lambda_1,\quad\varphi_1\left(\lambda_1\right)=-\left(\lambda_1^2+1\right),\quad\varphi_2\left(\lambda_1\right)=\lambda_1$$
设$
\frac{\varphi_i(\lambda)}{\varphi_k(\lambda)}=\mu_{i k}
$是这些系数之比：
\[
\mu_{10}=-\frac{\lambda^2+1}{\lambda}, \quad \mu_{20}=1, \quad \mu_{21}=-\frac{\lambda}{\lambda^2+1},
\]
那么$x,y$必可表示为$\mu_{ik}$的有理函数
\[
x=\frac{1}{\mu_{21}^2+1}, \quad y=\frac{-\mu_{21}}{\mu_{21}^2+1} .
\]
且$\mu_{ik}$必可表示为$x,y$的有理函数
$$\mu_{10}=-x/y,\quad\mu_{20}=1,\quad\mu_{21}=-y/x$$
这么神奇