最大值

乌贼

2011年全国新课标理数16题。（几何法）
    在 $\triangle ABC$中，$\angle B=60^\circ,AC=\sqrt3$，则$AB+2BC$的最大值为

其妙

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几何是你的强项啦！
代数有三角（正弦定理）、判别式法（+余弦定理）吧，或者均值不等式、柯西等等方法

乌贼

回复 2# 其妙
三角函数
  \[\frac{\sqrt3}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\riff
BC=2\sin A,AB=2\sin C=\sqrt3\cos A+\sin A\]
\[f(A)=AB+2BC=\sqrt3\cos A+5\sin A=2\sqrt7\sin(A+\arctan\frac5{\sqrt3})
\leqslant2\sqrt7\]

乌贼

回复 2# 其妙
其他方法弄得我头晕，不管了。道题代数方法太多，几何法估计没人鸟
上一个，由题意知，$B$点在顶角为60°的小圆的优弧上滑动，延长$AB$至$D$，使$BD=2BC$，连接$CD$，过$C$点作$AD$的垂足$F$，有$\tan\angle FDC=\frac{CF}{DF}=\dfrac{\frac{\sqrt3BC}{2}}{\frac{5BC}2}=\frac{\sqrt3}5$
知$D$点在另一顶角为定值的大圆的优弧上滑动，$AD$的最大值为该圆的直径，
过$A$作大圆的直径$AE$，连接$EC$有
\[\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt3}5\riff EC=5\riff AD_\max=AE=2\sqrt7\]
同理可推$AB+kBC$（$k$为常数）的最大值

乌贼

不知是2楼的哪种方法。
设$AB=c,BC=a,AC=b$由余弦定理
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos\angle B\riff a^2+c^2-ac-3=0\\\riff(a+2c)^2=3c^2+5ac+3=3+3k-ka^2-(k-3)c^2+(k+5)ac\\=3+3k-(\sqrt ka)^2-(\sqrt{k-3}c)^2+2\frac{k+5}2ac\]
令\[\sqrt k\sqrt{k-3}=\frac{k+5}2\]解得$k=\frac{25}3$或$k=-1$（舍去）有\[(a+2c)^2=28-(\sqrt{\frac{25}3}a-\sqrt{\frac{16}3}c)^2\leqslant28\riff a+2c\leqslant\sqrt{28}\]

乌贼

回复 2# 其妙
判别式法怎么做啊？

其妙

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判别式法怎么做啊？
乌贼 发表于 2013-12-14 23:45

设$a+2c=t$，则$a=t-2c$代入余弦定理的那个式子，……

你的余弦定理怎么不显示啊？
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\angle B\riff a^2+c^2-ac-3=0\\\riff(a+2c)^2=3c^2+5ac+3=3+3k-ka^2-(k-3)c^2+(k+5)ac\\=3+3k-(\sqrt ka)^2-(\sqrt{k-3}c)^2+2\frac{k+5}2ac$

你的几何方法构造的出神入化！

乌贼

回复 7# 其妙
愚钝，把它写完整由余弦定理得\[a^2+c^2-ac-3=0\]设$a+2c=t$，则$a=t-2c$代入上式得\[7c^2-5tc+t^2-3=0\\\Delta=28\times3-3t^2\geqslant0\\t\leqslant\sqrt{28}\]

kuing

回复 4# 乌贼

very nice!

其妙

回复  其妙
愚钝，把它写完整由余弦定理得\[a^2+c^2-ac-3=0\]设$a+2c=t$，则$a=t-2c$代入 ...
乌贼 发表于 2013-12-15 16:15

nice！
怎么还是不能显示？
把你的代码复制在这儿显示：
$7c^2-5tc+t^2-3=0\\\Delta=28\times3-3t^2\geqslant0\\t\leqslant\sqrt{28}$

kuing

回复 10# 其妙

\begin{gather*}
7c^2-5tc+t^2-3=0\\\Delta=28\times3-3t^2\geqslant0\\t\leqslant\sqrt{28}
\end{gather*}
这个能显示不？

乌贼

回复 2# 其妙
均值是这样吧，配凑真难，还不如三角及判别式！
\[3=a^2+c^2-ac=a^2+c^2+\frac37ac-\frac{10}{7}ac\\\geqslant a^2+c^2+\frac37ac-\frac{25}{28}a^2-\frac47c^2=\frac3{28}(a^2+4ac+4c^2)\riff\\\sqrt{28}\geqslant(a+2c)\]

乌贼

回复 2# 其妙
就剩柯西了

爪机专用

回复 12# 乌贼

其妙估计又看不到

乌贼

回复 14# 爪机专用
为啥？

其妙

回复 11# kuing
你的能显示，他的不能显示！

kuing

回复 16# 其妙

果然如此
在 \ [ \ ] 里直接断行，你那里的显示就有问题了。
这也不奇怪，因为 \ [ \ ] 里直接断行本来不正规，latex 里估计也会报错。
多行公式的输入方法应该用环境来输入（见置顶）。

其妙

回复 17# kuing
哦，以前isee写了一篇关于2013福建高考文科试题的解法，我也是不能看公式，我还以为他在隐藏解法呢

其妙

回复  其妙
就剩柯西了
乌贼 发表于 2013-12-16 01:42

OK!柯西的变式：

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\angle B\riff a^2+c^2-ac=3\\\riff3=(a-\dfrac c2)^2+\dfrac{3c^2}{4}=\dfrac{(a-\dfrac c2)^2}1+\dfrac{(\frac52c)^2}{\frac{25}3}\geqslant\dfrac{(a-\dfrac c2+\dfrac52c)^2}{1+\dfrac{25}{3}}=\dfrac{(a+2c)^2}{\dfrac{28}3}$，
故$(a+2c)^2\leqslant3\cdot\dfrac{28}3=28\riff a+2c\leqslant2\sqrt7$

乌贼

回复 7# 其妙
判别式法与线性规划如出一辙，由$a^2+c^2-ac=3$知图形为旋转的椭圆（没计算，根据$a,c$有最大值判断），设  $a+2c=t$  联立方程\begin{cases} a^2+c^2-ac=3 \\ a+2c=t \end{cases}得\[7c^2-5tc+t^2-3=0\]即当$\Delta=0$时直线与椭圆相切，此时的$t=\sqrt{28}$为最大值。$t=-\sqrt{28}$（舍去）。