来自人教群的简单三元不等式

kuing

问题：设 $a$, $b$, $c\geqslant0$，且 $a+b+c=4$，求证
\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leqslant16.\]

不妨设 $c=\max\{a,b,c\}$，则有 $c^2\geqslant ab$，于是
\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=ab(ab-2c^2)+c^2(a+b)^2\leqslant c^2(a+b)^2\leqslant \left(\frac{c+a+b}2\right)^4=16.\]

其妙

expert！
这儿还有个链接！blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101pzw7.html

乌贼

回复 2# 其妙
没有答案

kuing

expert！
这儿还有个链接！blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101pzw7.html
其妙 发表于 2014-2-18 23:28

由 1# 的方法可以证明（在与原题相同条件下，下同）
\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc\max\{a,b,c\}\leqslant16,\]
于是链接中的第二个不等式就成立了；

至于链接中的第三个不等式，用不了 1# 的法子，但我也懒得再证它，既然要加大 $abc$ 的系数，何不直接给到最佳系数？下面我将证明
\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+\frac{11}4abc\leqslant16.\]

齐次化，等价于
\[(a+b+c)^4\geqslant 16(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+11abc(a+b+c),\]
不妨设 $c=\min\{a,b,c\}$，则上式整理等价于
\[c(5a+5b+c)(a-c)(b-c)+(a^2+b^2+6ab+4bc+4ca-5c^2)(a-b)^2\geqslant 0,\]
显然成立，等号成立的条件是 $a=b=c=4/3$ 或 $(a,b,c)=(2,2,0)$。

kuing

回复 4# kuing

最后一步也可以改用 Schur 分拆，化为
\[\sum a^2(a-b)(a-c)+5\sum a(b+c)(a-b)(a-c)\geqslant0.\]

其妙

kk不等式expert！谁与争锋？

睡仙

这么牛阿,呵呵,随便弄一个,保证弄不出,呵呵

其妙

回复 7# 睡仙
呵呵，看到高手了呀？

其妙

回复 9# 睡仙
呵呵！我想看你怎么秒的？学习一下，
这里有三个人提供了他们的做法，你的解法是否也要秒杀他们？
见：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101kryx.html

kuing

回复 10# 其妙

他喜欢一行，你可以将那些解法改写成一行给他啊

kuing

回复 10# 其妙

比如说根据最小值及取等数据，可以改写成
\begin{align*}
&(x+y)^2\left( 2x^3+2y^3+9xy-24x-24y+39-\frac{514}{627+73\sqrt{73}} \right)\\
={}&xy\left( 2x+2y+3+2\sqrt{73} \right)\left( x+y-\frac{\sqrt{73}-3}2 \right)^2+(x-y)^2\left( (2x+2y+8)(x+y-2)^2+\frac{3875+511\sqrt{73}}{627+73\sqrt{73}} \right).
\end{align*}

其妙

回复 12# kuing
这个配方不错。，还是算两行，

kuing

回复 13# 其妙

那是排版问题……

睡仙

求导都用上了，这个配方毫无一般意义，而且还是全对称型的。哈哈

其妙

求导都用上了，这个配方毫无一般意义，而且还是全对称型的。哈哈
睡仙 发表于 2014-6-22 23:13

你会不会来一行的？

其妙

回复 3# 乌贼
答案：