若$m，n$为两个不同的正整数，则$\sqrt m +\sqrt n$为有理数？

isee · 发表于 2014-8-23 00:11

若$m，n$为两个不同的正整数，那么什么情况下$\sqrt m +\sqrt n$为有理数？

kuing · 发表于 2014-8-23 00:12

这……除了都是完全平方数的情形外还会有其他……？

isee · 发表于 2014-8-23 00:39

回复 2# kuing

具体理由呢？结论好猜，怎么说理呢？

kuing · 发表于 2014-8-23 00:42

不会

kuing · 发表于 2014-8-23 01:15

搞个多元推广，线性无关什么的……？

kuing · 发表于 2014-8-23 18:55

粤爱好者何万程(1785***) 11:28:41
设t=sqrt(m)+sqrt(n)，则
sqrt(m)=t-sqrt(n)，
m=t^2+n-2tsqrt(n)，
sqrt(n)=(t^2+n-m)/(2t)，
即n是有理数的完全平方，m类似

isee · 发表于 2014-8-26 22:33

回复 6# kuing

这方法适用于三次根式也

isee · 发表于 2014-8-27 23:47

另外一种说理方式

当$m,n,\sqrt m+\sqrt n$为有理数时，则
\[\sqrt m-\sqrt n=\dfrac {m-n}{\sqrt m+\sqrt n}\]
亦是有理数，从而
\[\sqrt m=\frac 12 ((\sqrt m-\sqrt n)+(\sqrt m+\sqrt n))\]
也是有理数，……

kuing · 发表于 2014-8-28 00:18

回复 8# isee

这个证法好玩儿

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[数论] 若$m，n$为两个不同的正整数，则$\sqrt m +\sqrt n$为有理数？