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n≥4,证明不存在正n边形，其边长，对角线长都是正整数。

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请证明$n\geqslant 4时,cos\frac{ \pi}{n}$是无理数

kuing

请证明$n\geqslant 4时,cos\frac{ \pi}{n}$是无理数
wzxsjz 发表于 2015-3-8 10:29

这类问题应该都被玩烂了，百度一下就有：tieba.baidu.com/p/2274642772

wzxsjz

回复 4# kuing


    3q

hbghlyj

根系

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件，在每條線上，其間交角只有兩種可能。

hbghlyj

秩二的根系有四種可能，对应于$ \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha $，其中$ n=0,1,2,3 $的情况[1]。注意根系并不由它生成的格所决定：$ A_{1}\times A_{1} $ 和$ B_{2} $均生成正方形格，而 $ A_{2} $和$ G_{2} $ 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下：

秩二之根系

根系 A1×A1	根系 A2
根系 B2	根系 G2

當 $ \Phi $ 是 $ V $ 中的根系，而 $ W $ 是 $ \Psi =\Phi \cap W $ 在 $ W $ 中生成的子空間，則 $ \Psi $ 是 $ W $ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 $ 0,30,45,60,90,120,135,150 $ 或 $ 180 $ 度。

hbghlyj

對於根系 $ \Phi $，可以取定滿足下述條件的正根子集 $ \Phi ^{+} $：

對每個根 $ \alpha \in \Phi $，$ \alpha ,-\alpha $ 中恰有一者屬於 $ \Phi ^{+} $。
對任意 $ \alpha ,\beta \in \Phi ^{+} $，若 $ \alpha +\beta \in \Phi $，則 $ \alpha +\beta \in \Phi ^{+} $。
正根的取法並不唯一。取定一組正根後，$ -\Phi ^{+} $ 的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 $ \Phi $ 中滿足下述條件的子集 $ \Delta $：

任意 $ \Phi $ 中的元素皆可唯一地表成 $ \Delta $ 中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。
選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。