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[几何] $n\geqslant 4$时,$\cos\frac{\pi}{n}$是无理数

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wzxsjz Posted at 2015-3-8 10:29:43 |Read mode
Last edited by hbghlyj at 2025-3-21 06:07:25请证明$n\geqslant 4$时,$\cos\frac{\pi}{n}$是无理数

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kuing Posted at 2015-3-8 15:59:58
Last edited by hbghlyj at 2025-3-21 05:56:00
请证明$n\geqslant 4$时,$\cos\frac{\pi}{n}$是无理数
wzxsjz 发表于 2015-3-8 10:29

这类问题应该都被玩烂了,百度一下就有:tieba.baidu.com/p/2274642772
$2 \cos (n x)$ 是关于 $2 \cos x$ 的首一整系数多项式。
若 $2 \cos (\pi / n)$ 是有理数,
注意到 $2 \cos (\pi)=-2$,
由整系数多项式的零点定理,
$2 \cos (\pi / n)$ 必定是整数,于是 $\cos (\pi / n)=0, \pm 1 / 2, \pm 1$,

接下来随意......

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hbghlyj Posted at 2025-2-16 21:53:50
根系

<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件,在每條線上,其間交角只有兩種可能。
375px-Integrality-of-root-system[1].png

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hbghlyj Posted at 2025-2-16 21:56:07

秩二的根系有四種可能,对应于$ \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha $,其中$ n=0,1,2,3 $的情况[1]。注意根系并不由它生成的格所决定:$ A_{1}\times A_{1} $ 和$ B_{2} $均生成正方形格,而 $ A_{2} $和$ G_{2} $ 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下:

300px-Root-system-A1xA1[1].png 300px-Root-system-A2-v1[1].png
根系 A1×A1根系 A2
300px-Root-system-B2[1].png 300px-Root-system-G2[1].png
根系 B2根系 G2
秩二之根系

當 $ \Phi $ 是 $ V $ 中的根系,而 $ W $ 是 $ \Psi =\Phi \cap W $ 在 $ W $ 中生成的子空間,則 $ \Psi $ 是 $ W $ 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係,例如:任意兩根的交角僅可能是 $ 0,30,45,60,90,120,135,150 $ 或 $ 180 $ 度。

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hbghlyj Posted at 2025-2-16 21:59:11

正根與單根

對於根系 $ \Phi $,可以取定滿足下述條件的正根子集 $ \Phi ^{+} $:

對每個根 $ \alpha \in \Phi $,$ \alpha ,-\alpha $ 中恰有一者屬於 $ \Phi ^{+} $。
對任意 $ \alpha ,\beta \in \Phi ^{+} $,若 $ \alpha +\beta \in \Phi $,則 $ \alpha +\beta \in \Phi ^{+} $。
正根的取法並不唯一。取定一組正根後,$ -\Phi ^{+} $ 的元素被稱為負根。

正根的選取等價於單根的選取。單根集是 $ \Phi $ 中滿足下述條件的子集 $ \Delta $:

任意 $ \Phi $ 中的元素皆可唯一地表成 $ \Delta $ 中元素的整係數線性組合,而且其係數或者全大於等於零,或者全小於等於零。
選定一組單根後,可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

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2025-4-21 23:54 GMT+8

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