还是广州一模，理数最后一问也扯一扯

kuing

原不等式的证明很简单（不过答案对左边还是做复杂了），这里扯一下中间的极限。

为方便书写，记
\[T_n=\left( 1+\frac1{n^2} \right)\left( 1+\frac2{n^2} \right)\cdots \left( 1+\frac n{n^2} \right),\]
则
\[T_n^2=\prod_{k=1}^n\left( 1+\frac k{n^2} \right)\left( 1+\frac{n+1-k}{n^2} \right),\]
因为
\[\left( 1+\frac k{n^2} \right)\left( 1+\frac{n+1-k}{n^2} \right)>1+\frac k{n^2}+\frac{n+1-k}{n^2}=1+\frac1n+\frac1{n^2},\]
且
\[\left( 1+\frac k{n^2} \right)\left( 1+\frac{n+1-k}{n^2} \right)\leqslant \frac14\left( 2+\frac k{n^2}+\frac{n+1-k}{n^2} \right)^2=\left( 1+\frac 1{2n}+\frac1{2n^2} \right)^2,\]
所以
\[\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)^n<T_n^2\leqslant \left( 1+\frac 1{2n}+\frac1{2n^2} \right)^{2n}, \qquad(1)\]
求极限易得
\[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)^n=\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1{2n}+\frac1{2n^2} \right)^{2n}=e,\]
所以由式 (1) 夹逼得
\[\lim_{n\to\infty}T_n=\sqrt e.\]


此外，我们还可以证明恒有
\[\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)^n>e,\]
这等价于
\[\ln\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)>\frac1n, \qquad(2)\]
令 $f(x)=\ln (1+x+x^2)-x$，其中 $x\in[0,1]$，求导得
\[f'(x)=\frac{1+2x}{1+x+x^2}-1=\frac{x(1-x)}{1+x+x^2}\geqslant 0,\]
故 $f(x)\geqslant f(0)=0$，当且仅当 $x=0$ 取等，所以式 (2) 成立，即得证。

这样相当于又证了一遍原不等式的左边。

其妙

没看见原解答，
这儿好像有原解答？
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vfb7.html

kuing

回复 2# 其妙

参考答案左边是用 ln(1+x)>x-x^2/2（由第一问所得）做的，见 wenku.baidu.com/link?url=xwxKz2Cy8fFD5OUlau08bzcvexxNEZJ_7SZ3P96 ... n7KNexKVFdApeBcc33O_
你的链接所转载的证法就是更简单的证法，作者我也知道，刚才在某群里才看到。

kuing

再多扯一点，下面证明 $T_n\leqslant 2$，当且仅当 $n=1$ 时取等。

显然 $T_1=2$, $T_2=15/8<2$，当 $n\geqslant 3$ 时，由式 (1) 得
\[T_n\leqslant \left( 1+\frac 1{2n}+\frac1{2n^2} \right)^n
\leqslant \left( 1+\frac 1{2n}+\frac1{6n} \right)^n
=\left( 1+\frac23\cdot\frac1n \right)^n
<e^{2/3},\]
而
\[e^{2/3}<2\iff e<2\sqrt2,\]
显然成立，故得证。


这样，极限有了，最大值也有了。

isee

这个 $T_n^2$厉害。
学习了。

isee

其次，下面这个极限具体怎么求的？高数忘记完了。


\[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)^n\]

kuing

回复 6# isee

\[\lim_{n\to\infty}\left( 1+\frac1n+\frac1{n^2} \right)^n
=\lim_{x\to0^+}(1+x+x^2)^{1/x}
=\exp\left(\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x+x^2)}x\right)
=\exp\left(\lim_{x\to0^+}\frac{x+x^2}x\right)
=e.\]

isee

回复 7# kuing


    正在考虑\[e^{n \ln (1+\frac 1n +\frac 1{n^2})},\]这方向果然能破。复合函数的极限。洛必塔一次，更直观些，特别是对偶，丢了N年了。



    谢了。




    这样一看，里面有多个n的多少次的倒数（的倍数）均是e了。