来自某教师群的分母最小问题

kuing

【师长】深圳王老师(5234*****) 17:13:21
哪位老师说一下第六题考什么？

印象中，求满足 $\alpha<p/q<\beta$ 的最小分母 $q$ 的一般方法会用到连分数，但由旁边的题来看这似乎只是一份普通的高中练习题，怎么会涉及连分数？难道有取巧的办法？试了一下好像还真是这样。

依题意得 $0.198<p/q<0.199$，即 $99/500<p/q<199/1000$，即 $500p>99q$ 且 $199q>1000p$，
于是可设 $500p-99q=u$, $199q-1000p=v$，其中 $u$, $v$ 为正整数，消去 $p$ 得
\[q=2u+v,\]
代回去得
\[p=\frac{199u+99v}{500}=\frac{100u+99(u+v)}{500},\]
由此可见必须有 $100\mid(u+v)$（否则不可能约掉两个零），故此 $u+v\geqslant100$，所以
\[q\geqslant100+u\geqslant101,\]
等号成立当且仅当 $u+v=100$ 且 $u=1$，即 $u=1$, $v=99$，此时 $p=20$, $q=101$ 确实满足题意，所以 $q$ 的最小值为 $101$，此时 $p=20$。

乌贼

\[ \dfrac{198}{1000}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{199}{1000} \riff\dfrac{1000}{199}<\dfrac{q}{p}<\dfrac{1000}{198}\riff\dfrac5{199}<\dfrac{q-5p}{p}<\dfrac{10}{198}\riff\]
\[\dfrac{1}{39.8}<\dfrac{q-5p}{p}<\dfrac{1}{19.8}\riff q-5p=1,q-5p=20\riff p=20,q=101\]

爪机专用

回复 2# 乌贼

后面是怎么推出p=20的？

乌贼

回复 3# 爪机专用
  举个例子 \[ \dfrac17 <\dfrac{a}{b}<\dfrac13\riff a=1,b=4\]
先得出$ a=1 $，再得出$ b=4 $
只有$a=1$，$b$是大于$3$的最小整数时，$a+b$才取得最小值

乌贼

回复 4# 乌贼
或者\[ \dfrac1{39.8}<\dfrac{q-5p}{p}<\dfrac1{19.8} \]令：$ q-5p=k,(k=1,2,3,\cdots ) $
再令:$ (19.8k) $是大于$ 19.8k $的最小整数，对于任意的$ k $有,
$ (q-5p+p)_\min =k+(19.8k) $，\[ (q+p)_\min=k+5(19.8k)+(19.8k)\geqslant 1+6\times 20=121 \]当且仅当$ k=1 $时成立。

活着＆存在

\begin{aligned}
& \frac{198}{1000}<\frac{p}{q}<\frac{199}{1000} \Rightarrow \frac{1000 p}{199}<q<\frac{1000 p}{198} \\
& \Rightarrow \frac{5 p}{199}<q-5 p<\frac{10 p}{198}\left(p, q \in N^{+}\right) \\
& \Rightarrow \frac{5 p}{199} \text { 与 } \frac{10 p}{198} \text { 之间有整数, } p \text { 最小是 } 20 . \\
& \Rightarrow P=20 \text { 时, } q \text { 最小, } q=5 p+1=101 .
\end{aligned}

isee

$\dfrac{198}{1000}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{199}{1000}$，这样的不等式，当$p,q$为正整数时，初一就有见，好像多数时候是竞赛的。

曾经解过类题：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … ;highlight=%E9%94%99，最后也是转化成这楼了。。。

kuing

圆奶乳齿，看来我那解法不值一提了……

kuing

深圳王老师(5234*****) 14:30:06

hejoseph

这是这类问题的最一般方法：
因为
\begin{align*}
\frac{198}{1000}=\frac{1}{5+\frac{1}{19+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}\\
\frac{199}{1000}=\frac{1}{5+\frac{1}{39+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}\end{align*}
所以
\[
\frac{p}{q}=\frac{1}{5+\frac{1}{20}}=\frac{20}{101}
\]
就算两边都是无理数这个方法也适用

goft

\[\dfrac{198}{1000}=\dfrac{200-2}{1000} =\dfrac{1}{5}\times \dfrac{99}{100}<\dfrac{1}{5}\times \dfrac{100}{101} =\dfrac{20}{101}\]
$ 为了使分母最小，则应该把5约分掉，每次增加1 $

isee

这是这类问题的最一般方法：
因为
\begin{align*}
\frac{198}{1000}=\frac{1}{5+\frac{1}{19+\frac{1}{1+\f ...
hejoseph 发表于 2015-6-17 20:34

    三个连分数，学习了

Tesla35

马一下。