【几何达人进】园K的面积是多少？圆心点坐标是多少？

dodonaomik

P1，P2，P3的半径
分别是1,2,3



园K外切于这三个园
请求园K的面积
谢啦！

kuing

Soddy 圆
可以参考：pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj2013/sxkj12/sxkj … 20130407_1153290.htm（《数学空间》2013年第2期封面故事）

dodonaomik

mathworld.wolfram.com/LucasCircles.html
mathworld.wolfram.com/OuterSoddyCircle.html

第二个网址
就是外SODDY园



尽管，也给出了Outer Soddy Circle
的半径公式
但我看得一脸茫然


不晓得，怎么使用？
若KUING您有空，不妨一阅

dodonaomik

而且，值得注意的是：


可能，还存在一个这样的问题：


就是说：未必存在一个  outer  soddy  circle

游客

图怎么是内切的呢？

dodonaomik

图怎么是内切的呢？
游客 发表于 2016-1-18 18:15

请不要关注哪个小的   Inner   Soddy   circle

游客

小的才叫外切！到底外切还是内切？

dodonaomik

回复 7# 游客

主楼里，我说的那么赤露罗啦~~~

游客

dodonaomik

目前解答，如下：

没有找到 outer  soddy  circle  ,
只有inner   soddy  circle

___________________________________
另外，在wolfram里面，水平有限搞不出方程组的数值解

dodonaomik

也就是说，针对主楼，

我算出来，是没有包络这三个互切圆的包络园

只有，被挤压、相切在这三个互切园间的一个小园

___________________________________________________________
我只能做到这一步了，水平有限
不晓得对错

dodonaomik

回复 12# 游客


    非常之感谢啊！
我看了你的ID，顾名思义，以为你到这历史来打酱油的，呵呵~~误解了误解了，
你水平很高！也感谢您的帮助


另外，我是一个没有个性的人！我不喜欢个性不个性，
愿意帮，就帮；不愿意帮，就拉倒~~求个干脆！

就怕那些刁人，水平木有，唧唧歪歪刁个不停的~~~最怕这种人啦，当然，也是极端令人厌烦的这种人
______________________
按照你的方法，
搞了一哈，整理了一哈

dodonaomik

现在的一个疑问，变成了：

那个inner  soddy  circle的坐标怎么求？【就是指  10楼里面的那个  inner  soddy  circle】

游客

9楼已经解决了所有的问题。斑竹的链接《数学空间》封面故事里讲的是几何方法，
9楼给的是解析法，整理一下已经是一篇论文了。剩下的全是计算。

里面那个圆就是把（1）、（2）、（3）三式右边的  R-1，R-2，R-3  分别
换成  R+1，R+2，R+3。

dodonaomik

确实要感谢游客的

我是吧1939年最后一道大学入学试题
做了数字具象化处理

做做还有味道一些，原来都是字母，不带感

青青子衿

回复 15# dodonaomik
利用Descartes' theorem（笛卡尔相切圆定理）可以直接求出半径：
三个相切圆的半径分别为\(r_1\)、\(r_2\)、\(r_3\)，则三个圆的曲率分别为\(\kappa_1=\frac{1}{r_1}\)、\(\kappa_2=\frac{1}{r_2}\)、\(\kappa_3=\frac{1}{r_3}\)，则与三个圆均相切的圆的曲率\(\kappa_4\)满足一个二次方程：
\[(\kappa_1+\kappa_2+\kappa_3+\kappa_4)^2=2(\kappa_1^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2+\kappa_4^2)\]
即满足：
\[\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\]
此题中：
\[\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{23}{6}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{23}{6}\right)^2\right]=\frac{289}{9}\]

huing

当\(P_1P_2P_3\)为直角三角形时，问题就简化了，直接有结论\[R_K=R_1+R_2+R_3\]如图很直观，4个圆心构成矩形，无需文字证明。

青青子衿

回复 17# huing
即满足：
\[\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\]
\begin{cases}
\displaystyle\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_4}\right)^2=2\left[\left(\frac{1}{r_1}\right)^2+\left(\frac{1}{r_2}\right)^2+\left(\frac{1}{r_3}\right)^2+\left(\frac{1}{r_4}\right)^2\right]\\
\left(r_1+r_2\right)^2+\left(r_1+r_3\right)^2=\left(r_2+r_3\right)^2
\end{cases}
\begin{cases}
\displaystyle r_4=\frac{(r_1+r_2)(r_1+r_3)}{2(3r_1+4r_3+4r_3)}\\
\displaystyle r_4=-(r_1+r_2+r_3)
\end{cases}
此题中：
\begin{gather*}
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{1+2+3}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{1}{1+2+3}\right)^2\right]=\frac{25}{9}\\
\left(1+2\right)^2+\left(1+3\right)^2=\left(2+3\right)^2
\end{gather*}
\begin{gather*}
\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2(3+4\times2+4\times3)}{(1+2)(1+3)}\right)^2=2\left[1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2(3+4\times2+4\times3)}{(1+2)(1+3)}\right)^2\right]=\frac{289}{9}\\
\left(1+2\right)^2+\left(1+3\right)^2=\left(2+3\right)^2
\end{gather*}

hbghlyj

类似题:第63页
Power Question 2010: Power of Circular Subdivisions

hbghlyj

笛卡尔定理与一类多圆相切问题.pdf (449.19 KB, Downloads: 225)

2022-3-4 22:35 Upload

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