二次函数，求 $\abs{cx^2-bx+a}$ 的最大值

hjfmhh

kuing

依题意得
\begin{align*}
g(x)&=\left| \frac{1-x}2f(1)+\frac{1+x}2f(-1)+(x^2-1)f(0) \right| \\
& \leqslant \left| \frac{1-x}2f(1) \right|+\left| \frac{1+x}2f(-1) \right|+\abs{(x^2-1)f(0)} \\
& \leqslant \left| \frac{1-x}2 \right|+\left| \frac{1+x}2 \right|+\abs{x^2-1} \\
& =2-x^2 \\
& \leqslant 2,
\end{align*}
当 $f(x)=2x^2-1$ 时满足条件，并且此时 $g(x)=\abs{-x^2+2}=2-x^2$ 确实能取得最大值 $2$。