前两天减压群的空间解析几何问题——求切线面方程

kuing

**寒，**珊  19:00:34
翻译成更直接一点就是：
空间中的三次（挠率不为零）曲线：r={t,t²,t³}
每一点的切线都在曲面上：
(z-xy)²=4(xz-y²)(y-x²)

请问空间四次曲线r={t²,t³,t⁴}的所有切线所在哪一个曲面上？

这几天一直整理片片没心思想，今天才有点，由于对空间解几不是很熟悉，下面尝试从头推导一下。

设空间曲线 `C`: `\{x(t),y(t),z(t)\}`，其上两点 `P(x(t),y(t),z(t))`, `Q(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t))`，则直线 `PQ` 方程为
\[\frac{x-x(t)}{x(t+\Delta t)-x(t)}=\frac{y-y(t)}{y(t+\Delta t)-y(t)}=\frac{z-z(t)}{z(t+\Delta t)-z(t)},\]
对各分母除以 `\Delta t` 并令 `\Delta t\to0`，即得 `P` 处的切线方程为
\[\frac{x-x(t)}{x'(t)}=\frac{y-y(t)}{y'(t)}=\frac{z-z(t)}{z'(t)},\]
那么，当 `t` 变化时，此直线所扫过的曲面就是所求，或者干脆说上式就是此曲面的参数方程，所以要求其的隐式方程，只需消去参数 `t` 即可。

现在 `C`: `\{t^2,t^3,t^4\}`，方程为
\[\frac{x-t^2}{2t}=\frac{y-t^3}{3t^2}=\frac{z-t^4}{4t^3},\]
用等比降一降次，化为
\[\frac{x-t^2}2=\frac{y-tx}t=\frac{z-ty}{t^2},\]
即
\[\led
t(x-t^2)&=2(y-tx),\\
t(y-tx)&=z-ty,
\endled\]
可以继续手工消元，但我懒得慢慢算了，直接开挂：

1. Resultant[t (x - t^2) - 2 (y - t x), t (y - t x) - (z - t y), t]

复制代码

得到方程
\[-9 x^4 z+8 x^3 y^2-6 x^2 z^2+24 x y^2 z-16 y^4-z^3=0.\]

虽然是推了出来，但这大概是个笨方法，事关后来提问者自己推出的结果是 `(x^2-z)^3=(x^3+3xz-4y^2)^2`，与上述方程等价！如此简洁的结果肯定是通过更巧妙的方法直接得出的，而不是像我那样暴力消元。

所以我很好奇，@**寒，**珊 你是怎么推的？

游客

青青子衿

回复 1# kuing
我其实也是硬解方程组导出来的
首先由于切线面是直纹面，所以可以利用直纹面向量式方程得到切线面的向量式方程：\(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)=\boldsymbol{a}\left(u\right)+v\,\boldsymbol{a}'\left(u\right)\)
四次挠曲线\(C\colon\,\,\)\(\boldsymbol{a}\left(\,t\,\right)=\{\,t^2,\,t^3,\,t^4\,\}\)，\(\boldsymbol{a}\)同时也是位置向量
则四次挠曲线\(\,C\)一般参数（即参数\(t\)）的切向量为\(\boldsymbol{a}'\left(\,t\,\right)=\{\,2t,\,3t^2,\,4t^3\,\}\)
因此四次挠曲线\(\,C\,\,\)切线面的参数方程为\(\boldsymbol{r}\left(u,v\right)=\{\,u^2,\,u^3,\,u^4\,\}+v\,\{\,2u,\,3u^2,\,4u^3\,\}=\{\,u^2+2uv,\,u^3+3u^2v,\,u^4+4u^3v\,\}\)
写成空间直角坐标系下坐标的参数方程形式为
\begin{cases}
x=u^2+2uv\\
y=u^3+3u^2v\\
z=u^4+4u^3v\\
\end{cases}
将上述方程中含有\(\,v\,\)的项“吸收”一个\(\,u\,\),可得：
\begin{cases}
x=u^2+2v\\
y=u^3+3uv\\
z=u^4+4u^2v\\
\end{cases}
接下来就开始“硬解”了
\begin{align*}
\begin{cases}
\begin{split}
x-u^2&=2v\\
y&=u^3+3uv\\
z&=u^4+4u^2v\\
\end{split}
\end{cases}
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
y&=u^3+\frac{3u}{2}(x-u^2)\\
z&=u^4+2u^2(x-u^2)\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
2y&=3ux-u^3\\
z&=2u^2x-u^4\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
2y&=u(3x-u^2)\\
u&=\pm\sqrt{x\pm\sqrt{x^2-z}}\\
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\quad2y=\pm\sqrt{x\pm\sqrt{x^2-z}}\left(3x-\left(x\pm\sqrt{x^2-z}\,\right)\right)\\
\end{align*}
然后“想当然的”就全取正再化简（我也不太清楚），算出的答案\(\,(x^2-z)^3=(x^3+3xz-4y^2)^2\)

游客

kuing

回复 4# 游客

这个好！

kuing

回复 3# 青青子衿

最后这步虽然是“想当然”但应该有一定的必然性，尽管我一时也不知怎么说……就类似于以往求一个多项式使它的根为某个带根号的式子，而它的其他根往往就是差一些正负号那样子……

青青子衿

回复 4# 游客
四楼这个方法真的好！还可以把原问题稍微推广一下
\begin{align*}
\frac{x-a\,t^2}{2a\,t}=\frac{y-b\,t^3}{3b\,t^2}=\frac{z-c\,t^4}{4c\,t^3}&\Longrightarrow
\frac{x-a\,u^2}{2a\,u^2}=\frac{y-b\,u^3}{3b\,u^3}=\frac{z-c\,u^4}{4c\,u^4}=v
\\\,\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
x&=a\left(2v+1\right)u^2\\
y&=b\left(3v+1\right)u^3\\
z&=c\left(4v+1\right)u^4
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x}{a}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}&=4u^4v^2\\
\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}&=\phantom{1}u^6v^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=4u^4v^2
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}&=4u^4v^2\\
4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)&=4u^6v^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=4u^4v^2
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
\begin{split}
\frac{4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)}{\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}}&=u^2\\
\left(\tfrac{x}{a}-u^2\right)^2&=\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}
\end{split}
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\left(\frac{x}{a}-\frac{4\left(\tfrac{y^2}{b^2}-\tfrac{xz}{ac}\right)}{\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{z}{c}}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\\
&\Longrightarrow
\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3
\end{align*}

\begin{align*}   
\{\,a\,t,\,b\,t^2,\,c\,t^3\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad4\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{xz}{ac}\right)&=\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^2\\   
\{\,a\,t^2,\,b\,t^3,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2&=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3\\  
\{\,a\,t,\,b\,t^3,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad16\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^3&=27\left(\frac{x^2z}{a^2c}-\frac{y^2}{b^2}\right)^2\\   
\{\,a\,t,\,b\,t^2,\,c\,t^4\,\}\quad   
&&\longmapsto&&\quad\left(\frac{4x^2y}{a^2b}-\frac{5y^2}{b^2}+\frac{z}{c}\right)^2&=16\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)^2\\
\end{align*}
\begin{align*}   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{z}{a}&=\left(3v+1\right)u^3
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad4\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{xz}{ac}\right)=\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^2\\   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(2v+1\right)u^2\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad\left(\frac{x^3}{a^3}+\frac{3xz}{ac}-\frac{4y^2}{b^2}\right)^2=\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{z}{c}\right)^3\\  
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(3v+1\right)u^3\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad16\left(\frac{xy}{ab}-\frac{z}{c}\right)^3=27\left(\frac{x^2z}{a^2c}-\frac{y^2}{b^2}\right)^2\\   
\begin{cases}  
\begin{split}  
\tfrac{x}{a}&=\left(v+1\right)u\\  
\tfrac{y}{b}&=\left(2v+1\right)u^2\\
\tfrac{z}{a}&=\left(4v+1\right)u^4
\end{split}  
\end{cases}\quad   
&\Longrightarrow\quad\left(\frac{4x^2y}{a^2b}-\frac{5y^2}{b^2}+\frac{z}{c}\right)^2=16\left(\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y}{b}\right)^2\\
\end{align*}
...

1. (4 (((v + 1) u)^2 - (2 v + 1) u^2) (((2 v + 1) u^2)^2
2. - (v + 1) u (3 v + 1) u^3)
3. - ((v + 1) u (2 v + 1) u^2 - (3 v + 1) u^3)^2) // Expand
4. (((2 v + 1) u^2)^3 + 3 (2 v + 1) u^2 (4 v + 1) u^4
5. - 4 ((3 v + 1) u^3)^2)^2 - (((2 v + 1) u^2)^2
6. - (4 v + 1) u^4)^3 // Expand
7. 16 ((v + 1) u (3 v + 1) u^3 - (4 v + 1) u^4)^3 -
8. 27 (((v + 1) u)^2 (4 v + 1) u^4 - ((3 v + 1) u^3)^2)^2 // Expand
9. ((4 ((v + 1) u)^2 (2 v + 1) u^2
10. - 5 ((2 v + 1) u^2)^2 + (4 v + 1) u^4)^2
11. - 16 (((2 v + 1) u^2)^2 - (4 v + 1) u^4)
12. (((v + 1) u)^2 - (2 v + 1) u^2)^2) // Expand

复制代码

...

2. Resultant[y - 2 u x + u^2, z - 3 u^2 x + 2 u^3, u]
3. Resultant[2 y - 3 u x + u^3, z - 2 u^2 x + u^4, u]
4. Resultant[y - 3 u^2 x + 2 u^3, z - 4 u^3 x + 3 u^4, u]
5. Resultant[y - 2 u x + u^2, z - 4 u^3 x + 3 u^4, u]

复制代码

...
\begin{align*}
\{\,t,\,t^2,\,t^3\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-2ux+u^2\\
&z-3u^2x+2u^3\\
&u
\end{split}  
\end{cases}\\

\{\,t^2,\,t^3,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&2y-3ux+u^3\\
&z-2u^2x+u^4\\
&u
\end{split}
\end{cases}\\

\{\,t,\,t^3,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-3u^2x+2u^3\\
&z-4u^3x+3u^4\\
&u
\end{split}  
\end{cases}\\

\{\,t,\,t^2,\,t^4\,\}\quad   
&\longmapsto\quad
\begin{cases}  
\begin{split}  
&y-2ux+u^2\\
&z-4u^3x+3u^4\\
&u
\end{split}  
\end{cases}
\end{align*}

青青子衿

1. eq1 = u + v - a;
2. eq2 = u^2 + 2 u*v - b;
3. eq3 = u^4 + 4 u^3*v - c;
4. GroebnerBasis[{eq1, eq2, eq3}, {a, b, c}, {u}]
5. GroebnerBasis[{a^2 - b, -8 a^2 b^3 + 9 b^4 + 16 a^4 c - 24 a^2 b c +
6.     6 b^2 c + c^2}, {a, b, c}] // Factor
7. GroebnerBasis[{a^2 - b - P,
8.    b^2 - c - Q, -8 a^2 b^3 + 9 b^4 + 16 a^4 c - 24 a^2 b c + 6 b^2 c +
9.      c^2}, {a, b, c}] // Factor

复制代码

Example 9.21 Consider the monomial curve $t \mapsto (t^4, t^3, t^5)$ in affine 3-space.
pages.uoregon.edu/njp/MS.pdf