直线与椭圆的问题

lemondian

设$k>0$且$k\ne1$，直线$l:y=kx+b$与$l_1:y=k_1x+b$关于直线$y=x+b$对称，直线$l$与$l_1$分别交椭圆$\frac{x^2}{a^a}+\frac{y^2}{b^2}=1$于点$A,M$和$A,N$。
（1）求$kk_1$的值；
（2）求证：对任意的$k$，直线$MN$恒过定点。

问题（1)应该是没问题的，不知问题（2）是否正确？如果正确，如何证明？
有没有更一般的结论呢？例如三条直线的交点A，能不能是y轴上的其它点或者是椭圆上的其它点？

lemondian

回复 1# lemondian
花了半个小时，死算，终于证到了！
不知有没有其它简法？推广等？

色k

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敬畏数学

结论正确。计算硬算设直线y=kx+m。如果是具体数字可能计算简单一些。也可以设M,N点坐标，算的截距为定值，计算有技巧。设$M（x_1，y_1）, N（x_2，y_2） $，由（1）得$\frac{y_1-b}{x_1}\cdot  \frac{y_2-b}{x_2}=1   $，且$  N（x_2，y_2） $在椭圆上，得：$\frac{y_2-b}{x_2}=-\frac{b^2x_2}{a^2(y_2+b)} $，从而有$ a^2x_1y_2+b^2x_2y_1=b^3x_2-a^2bx_1 $，同理：$ a^2x_2y_1+b^2x_1y_2=b^3x_1-a^2bx_2 $，直线MN的方程为：$ y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+$ $ \frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2} $，把点M，N在椭圆上得到的两式相减得：$\frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}=-\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2} $，所以，$ y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x-\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2}  $ ，直线MN过定点$ （0， -\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2} ） $。

lemondian

回复 4# 敬畏数学
对头，这样计算运算量少，不过你应该是算错结果了

敬畏数学

回复 5# lemondian
查了一下，是计算错误，已经纠正，b应该是立方才对。。。。