三角恒等式

TTAANN001

引用kuing的方程
方程
\begin{align*}
\frac{z^N-1}{z-1}=0
\end{align*}有 N−1个根，
分别为
\begin{align*}
z_k=\cos\frac{2k\pi}N+i\sin\frac{2k\pi}N,\quad k=1,2,\ldots,N-1,
\end{align*}
记
\begin{align*}
y_k=\cot\frac{k\pi}N,
\end{align*}
与上面一样，有
\begin{align*}
z_k=\frac{y_k+i}{y_k-i},
\end{align*}
以及方程
\begin{align*}
(y+i)^N=(y-i)^N
\end{align*}
的 N−1个根为
\begin{align*}
y_k（k=1k=1, 2,3, \ldots, N−1），
\end{align*}
展开化简为
\begin{align*}
C_N^1y^{N-1}-C_N^3y^{N-3}+C_N^5y^{N-5}-\cdots=0
\end{align*}
方程
\begin{align*}
C_{2n+1}^1x^n-C_{2n+1}^3x^{n-1}+C_{2n+1}^5x^{n-2}-\cdots+C_{2n+1}^{2n-1}(-1)^{n-1}x+C_{2n+1}^{2n+1}(-1)^n=0\quad(1)
\end{align*}的 n个根为
\begin{align*}
\cot^2\frac{k\pi}{2n+1},\quad k=1, 2, \ldots, n,
\end{align*}
要变成 tan 的话,
只需对方程 (1) 作代换 \begin{align*}
x\to1/x
\end{align*}，去分母后，即得：方程
\begin{align*}
x^n-C_{2n+1}^2x^{n-1}+C_{2n+1}^4x^{n-2}-\cdots+(-1)^{n-1}C_{2n+1}^{2n-2}x+(-1)^nC_{2n+1}^{2n}=0  (2)
\end{align*}的 n 个根为
\begin{align*}
\tan^2\frac{k\pi}{2n+1},\quad k=1, 2, \ldots, n.
\end{align*}

TTAANN001

\begin{align*}
sin^2x=tan^2x/(tan^2x+1)=1/(cot^2x+1)
\end{align*}
\begin{align*}
\prod_{k=1}^n\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}=\frac{\prod_{k=1}^n\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}}{\prod_{k=1}^n(tan^2\frac{k\pi}{2n+1}+1)}=\frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(cot^2\frac{k\pi}{2n+1}+1)}  (3)
\end{align*}

TTAANN001

方程(1)为
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{n}(x-cot^2\frac{k\pi}{2n+1})=0
\end{align*}
代入x=-1,得到
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{n}(-1-cot^2\frac{k\pi}{2n+1})=(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\cdots+C_{2n+1}^{2n-1}+C_{2n+1}^{2n+1})(-1)^n
\end{align*}代入(3)

与方程(2)得到的
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{n}(-1-tan^2\frac{k\pi}{2n+1})=(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+C_{2n+1}^5+\cdots+C_{2n+1}^{2n-1}+C_{2n+1}^{2n+1})(-1)^n
\end{align*}
代入(3)再用\begin{align*}
\prod_{k=1}^{2n}\tan\frac{k\pi}{2n+1}=(-1)^n\prod_{k=1}^n\tan^2\frac{k\pi}{2n+1}=(-1)^nC_{2n+1}^{2n}=(-1)^n(2n+1).
\end{align*}
得到的结果(\begin{align*}\prod_{k=1}^n\sin^2\frac{k\pi}{2n+1}\end{align*})为什么不一样

TTAANN001

终于写完了

TTAANN001

有人可以解释下吗?

kuing

回复 3# TTAANN001

方程 (1) 的最高次项系数是 `C_{2n+1}^1=2n+1`，所以分解的话应该是
\[(2n+1)\prod_{k=1}^n\left(x-\cot^2\frac{k\pi}{2n+1}\right)\]

TTAANN001

回复 6# kuing

谢谢K哥,看到了!