三角多项式不等式

青青子衿

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{\sin kx}{k}\geqslant0$

零定义

回复 1# 青青子衿
恒成立？咋么的可能呢...

爪机专用

变量范围交待一下

icesheep

Fejer-Jackson-Gronwall 不等式，范围是 $x \in \left( {0,\pi } \right)$

这里有另一个证法和对上界的估计：tieba.baidu.com/p/1770844577

可以用数学归纳法做。如果最小值点是内点，设为 ${x_0}$ 那么其一阶导数为零。
\[0 = \sum\limits_{k = 1}^n {\cos k{x_0}}  = \frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0} - \sin \frac{{{x_0}}}{2}}}{{2\sin \frac{{{x_0}}}{2}}}\]
或者有 $\left( {n + \frac{1}{2}}\right){x_0}=\frac{{{x_0}}}{2}+2k\pi$ 或者有 $\left({n+\frac{1}{2}}\right){x_0}=-\frac{{{x_0}}}{2}+\left({2k+1}\right)\pi $
\[\sin n{x_0} = \sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0}\cos \frac{{{x_0}}}{2} - \cos \left( {n + \frac{1}{2}} \right){x_0}\sin \frac{{{x_0}}}{2}\]
于是 $\sin n{x_0} = 0$ 或 $\sin n{x_0} = \sin {x_0} > 0$
\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\sin k{x_0}}}{k}}  = \frac{{\sin n{x_0}}}{n} + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{\sin k{x_0}}}{k}} \]
于是问题化归到 n-1 时的情况。

其妙

回复 4# icesheep
那个贴吧里 彩色の夢∩o∩搞了个上界
彩色の夢∩o∩是谁啊？好像在kk的群里出现过？

kuing

回复  icesheep
那个贴吧里 彩色の夢∩o∩搞了个上界
彩色の夢∩o∩是谁啊？好像在kk的群里出现过？ ...
其妙 发表于 2013-11-8 22:24

不是我的群，是hjj的群，那个香港妹纸。

hbghlyj

相关:
内链 - $\operatorname{sinc}x$无穷级数
Chebfun examples - Fejer-Jackson inequality
MathOverflow - a question on the sine function
另外:
@彩色の夢∩o∩又在
数学研发论坛 - 差分方程求解问题
出现过.

hbghlyj

Fejér-Jackson’s Inequalities and Related Results 预览: